Uma distribuição conjunta é a distribuição de probabilidade da interseção das realizações de quaisquer duas ou mais variáveis aleatórias.
Em outras palavras, uma distribuição conjunta é a distribuição de probabilidade que duas ou mais variáveis aleatórias formam quando suas realizações ocorrem simultaneamente.
Representação de distribuição conjunta
Quando apenas duas variáveis aleatórias estão envolvidas, é chamada de distribuição bivariada, uma vez que existem duas variáveis aleatórias. No caso de haver mais variáveis, seria denominado multivariada.
O nome longo da distribuição conjunta é distribuição de probabilidade conjunta. O nome é abreviado porque já se sabe que essas distribuições são probabilísticas. Em inglês, é chamado de “distribuição conjunta”.
Levando em consideração que existem variáveis aleatórias discretas e variáveis aleatórias contínuas, essa diferença também estará presente para distribuições conjuntas.
Distribuição conjunta para variáveis aleatórias discretas
Sejam duas variáveis aleatórias discretas X e W e as realizações de X e W sejam x e w. Então (X, W) terá uma distribuição conjunta da função densidade de probabilidade conjunta de (X, W).
Função de densidade de probabilidade conjunta (fdpc)
O fdpc nos dá a probabilidade de que a realização xe a realização w ocorram ao mesmo tempo. Para saber a probabilidade de isso acontecer, temos que multiplicar a probabilidade de x condicional em w pela probabilidade de que x ocorra. Em outras palavras, a probabilidade de que w ocorra dado xe a probabilidade de que x ocorra. Dessa forma, obteremos a probabilidade conjunta de x e w.
Como temos duas variáveis, podemos expressar a fdp do ponto de vista da variável aleatória X ou do ponto de vista da variável aleatória W.
Cumprindo isso:
Essa restrição é que a soma das probabilidades conjuntas tem que dar 1, pois são probabilidades e estão sempre entre 0 e 1.
Distribuição conjunta para variáveis aleatórias contínuas
Sejam X e W duas variáveis aleatórias contínuas e sejam as realizações de X e W xe w. Então (X, W) terá uma distribuição conjunta da função densidade de probabilidade conjunta de (X, W).
Função de densidade de probabilidade conjunta (fdpc)
A lógica para o caso contínuo é a mesma que para o caso discreto.
Essas funções são chamadas de funções de densidade de probabilidade marginal. O primeiro para a variável aleatória X e o segundo para a variável aleatória W.
Cumprindo isso
Essa restrição é que a soma das probabilidades conjuntas tem que dar 1, pois são probabilidades e estão sempre entre 0 e 1.
Aplicativo
Em economia, é muito comum que eventos envolvam mais de uma variável aleatória, portanto, surge a necessidade de analisar como essas variáveis se distribuem na mesma distribuição.