Função exponencial - O que é, definição e conceito

A função exponencial é a base da composição contínua, que é o resultado do aumento infinito (quando p tende para o infinito) a frequência do cálculo de juros em uma composição composta.

Em outras palavras, a função exponencial é uma composição composta em que os períodos de tempo entre os cálculos de juros são infinitesimais (muito pequenos).

A fórmula para a função exponencial é:

A composição contínua pode ser expressa como

Semelhanças razoáveis ​​entre capitalização contínua e a função exponencial, certo?

Definimos as variáveis ​​de capitalização contínua:

• C_{t + 1}: capital no momento t + 1 (mais tarde).
• C_t: capital no tempo t (atual).
• eu_t: taxa de juros no tempo t.
• p: frequência de composição ou periodicidade.
• t: tempo.

Formulários

Em finanças, freqüentemente encontramos a função exponencial na fórmula para capitalização contínua da renda futura e em algumas regressões econométricas.

Em economia, não é tão popular porque a maioria dos modelos microeconômicos e macroeconômicos pressupõe retornos marginais decrescentes sobre seus fatores de produção. Conseqüentemente, eles assumem que os fatores seguem retornos logarítmicos e, portanto, retornos contrários à função exponencial.

Exemplo de função exponencial

Assumimos que somos um investidor americano que deseja construir uma pista de esqui no Pico Bolívar, na Venezuela. O investimento inicial é de $ 100 milhões a uma taxa de juros anual de 100%. Este investidor possui poder de negociação suficiente para determinar a periodicidade do cálculo dos juros de seu investimento.

Qual alternativa o investidor americano prefere?

Para responder à pergunta, teremos que calcular o capital a tempo t + 1 (C_{t + 1}) que o investidor receberá.

Informações disponíveis:

C_t: $ 100MM

eu_t: 100%

t: 1 (anual)

C_{t + 1}: ?

Substituímos as informações que temos nas duas fórmulas (exp da função e capitalização contínua)

Tratamos os dados evitando o MM.

Nós dividimos (C_{t + 1}) por 100 na função exponencial para eliminar o efeito do capital. Desta forma, movemos a vírgula duas casas para a frente. Consequentemente, esse efeito é visível nas seguintes colunas de resultados.

Resultados:

Quando n ou p tendem ao infinito, neste caso de 10.000.000, podemos ver que os valores convergem para um número específico. Para composição contínua é 271,8281 e para função exponencial é 2,718281. As duas séries convergem em e.

Resposta ao exercício resolvida

Então, qual alternativa o investidor americano acabará escolhendo, se dentre uma série de periodicidades o capital em t + 1 (C_{t + 1}) para em um determinado valor?

• Se este investidor tratar o capital como uma variável discreta, ele escolherá a alternativa D. Uma vez que a partir da alternativa C, o capital em t + 1 (C_{t + 1}) converge para US $ 271 milhões.

• Se esse investidor tratar o capital como uma variável contínua, ele escolherá a alternativa com mais periodicidades. Nesse caso, a alternativa F. Mesmo que acabe convergindo para um valor, o investidor leva em consideração todas as casas decimais.

Esta convergência implica que o capital em t + 1 (C_{t + 1}), calculado usando a fórmula de composição contínua ou a função exponencial, segue retornos marginais decrescentes. Em outras palavras, (C_{t + 1}) pode ser expressa como uma função logarítmica.

Esquematicamente:

• Periodicidade = função exponencial.
• Capital para t + 1 (C_{t + 1}) = função logarítmica.

Representação gráfica

No gráfico você pode ver como a função exponencial, que é infinitamente contínua, cresce muito mais rápido do que a capitalização contínua limitada. Quando falamos em capitalização contínua, referimo-nos a uma espécie de capitalização composta mas com maior periodicidade, uma vez que na prática é impossível capitalizar infinitesimalmente os juros. Quer dizer, não podemos capitalizar a cada segundo.