Os modelos de equilíbrio de taxas de juros são modelos de equilíbrio baseados em um processo geométrico browniano e na neutralidade de risco das taxas de juros de curto prazo.
Em outras palavras, os modelos de taxas de juros de equilíbrio usam taxas de juros de curto prazo para calcular as taxas de juros futuras levando em consideração a estrutura dos prazos das taxas de juros.
Como referência para as taxas de juros de curto prazo, usaremos as taxas de juros do títulos de cupom zero. Um exemplo seriam os títulos do Tesouro espanhol emitidos no curto prazo.
Itens recomendados: título de cupom zero, opção e reversão à média.
A estrutura temporal dos preços dos títulos de cupom zero é obtida a partir do processo geométrico browniano que captura mudanças infinitesimais nas taxas de juros de curto prazo.
Os preços dos títulos de cupom zero são usados para avaliar o preço das opções de títulos de cupom zero e das opções de títulos de cupom.
Portanto, para calcular os preços futuros dos títulos de cupom zero, precisamos de taxas de juros de cupom zero de curto prazo. Dessa forma, também podemos construir a curva ou estrutura temporal das taxas de juros de cupom zero. Assim que tivermos a curva, podemos determinar a evolução das taxas de juros de longo prazo dadas as taxas de juros de curto prazo.
Estrutura a termo ou curva de taxa de juros dos títulos de cupom zero calculados a partir do modelo Vasicek:
Suposições do modelo de equilíbrio sobre as taxas de juros
As premissas do modelo são:
- Neutralidade de risco.
Assumimos o risco neutro como a premissa clássica para avaliação de ativos nos mercados financeiros. Essa suposição é a chave para obter o preço de um título usando a simulação de Monte Carlo.
- Distribuição logarítmica normal de títulos e taxas de juros.
Assumimos a distribuição log-normal, uma vez que colocamos as taxas de juros como uma variável positiva, como os preços dos títulos. Não faria sentido avaliar títulos com preços negativos. Supondo uma distribuição log-normal das taxas de juros, podemos dizer que as taxas de juros seguirão um processo geométrico browniano. Se a distribuição das taxas de juros fosse uma distribuição normal, diríamos que as taxas de juros seguem um processo aritmético browniano.
Modelos de equilíbrio de fator único
Modelos de equilíbrio de fator único são modelos para calcular a estrutura a termo das taxas de juros a partir das taxas de juros de curto prazo.
Dizemos de um único fator, pois o risco ou a incerteza é dado por um único fator: a volatilidade das taxas de juros. Existem modelos de equilíbrio de dois fatores que fornecem mais possibilidades nos movimentos das taxas de juros.
Matematicamente, definimos um modelo de equilíbrio de fator único da forma:
Onde,
- r (t): taxas de juros de curto prazo no instante t.
- dr: variação nas taxas de juros (r) ao longo do tempo (dt).
- dt: passagem do tempo = evolução do tempo.
- m (r) dt: direção ou tendência (m) das taxas de juros (r) ao longo do tempo (dt).
- s (r): desvio padrão das taxas de juros (r).
- dZ: componente aleatório ou distúrbio que segue uma distribuição normal com média 0 e variância 1.
A expressão acima é conhecida como equação diferencial estocástica expressa por meio do processo Itô.
Tipos de modelo
Os modelos de equilíbrio de um fator mais comuns são:
- Modelo de Rendleman e Bartter.
- Modelo Vasicek.
- Modelo de Cox, Ingresoll e Ross.