Interseção de eventos - O que é, definição e conceito
A interseção de eventos é uma operação cujo resultado é composto por eventos não repetitivos e comuns de dois ou mais conjuntos.
Em palavras mais simples, dados dois eventos A e B, diremos que sua interseção é composta pelos eventos elementares que eles têm em comum. Também poderíamos indicar que a interseção de eventos implica responder à pergunta: Qual é a probabilidade de que A e B ocorram ao mesmo tempo?
O símbolo com o qual a interseção é denotada é o seguinte: ∩. É como um U invertido. Assim, se quisermos denotar a interseção de A e B, colocaríamos: A ∩ B
Generalização da interseção de eventos
Na explicação, até agora, vimos a interseção de dois eventos. Por exemplo, A ∩ B ou B ∩ A. Agora, o que acontece se tivermos mais de dois eventos?
Generalizar a interseção de eventos nos dá uma solução para denotar a interseção, por exemplo, de 50 eventos. Suponha que temos 7 eventos, usaremos a seguinte notação:
Em vez de chamar cada evento de A, B ou qualquer letra, vamos chamar de sim. S é o evento e o subscrito i indica o número. Desta forma, teremos, no exemplo de 7 eventos, a seguinte fórmula:
O que fizemos foi desenvolver a notação. É simplesmente ver o que isso significa, mas apenas colocando o que está à frente do igual você saberá o que esse desenvolvimento implica. Acima, intuitivamente, estaríamos dizendo 'S1 sair e S2 sair e S3 sair e S4 sair e S5 sair e S6 sair e S7 sair'. Ou seja, seriam os elementos comuns que os 7 eventos possuem.
Intersecção de eventos disjuntos e não disjuntos
A interseção de eventos disjuntos simplesmente não pode existir. Obviamente, se dois eventos são disjuntos, diremos que eles não têm elementos em comum. E se eles não têm elementos em comum, o resultado é o conjunto vazio ou evento impossível.
No caso de eventos não disjuntos, o resultado da interseção serão os elementos em comum. Vejamos um exemplo de por que a interseção de eventos disjuntos não pode existir:
Suponha que temos um espaço amostral composto por (1,2,3,4,5,6) onde:
R: Deixe 1 ou 2 surgir (1,2)
B: Isso resulta maior ou igual a 5 (5,6)
A ∩ B = Ø
Não há interseção. É um evento impossível. Isso ocorre porque os eventos são disjuntos. Ou seja, eles não têm elementos em comum.
Por sua vez, a interseção de eventos não disjuntos é calculada como:
Propriedades da interseção de eventos
A união de eventos é um tipo de operação matemática. Alguns tipos de operação também são adição, subtração, multiplicação. Cada um deles possui uma série de propriedades. Por exemplo, sabemos que o resultado da adição de 3 + 4 é exatamente o mesmo da adição de 4 +3. Neste ponto, a união do evento tem várias propriedades que vale a pena conhecer:
- Comutativo: Isso significa que a ordem em que está escrito não altera o resultado. Por exemplo:
- A ∩ B = B ∩ A
- C ∩ D = D ∩ C
- Associativo: Supondo que haja três eventos, não nos importamos qual deles fazer primeiro e qual fazer a seguir. Por exemplo:
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A ∩ C) U B = (A ∩ B) ∩ C
- Distributiva: Quando incluímos o tipo de interseção de operação, a propriedade distributiva é mantida. Basta olhar para o seguinte exemplo:
- A ∩ (B U C) = (A U B) U (A U C)
Olhando para essas propriedades, podemos ver facilmente como elas são exatamente as mesmas que no caso de união de eventos.
Exemplo de interseção de evento
Um exemplo simples da união de dois eventos A e B seria o seguinte. Suponha o caso do lançamento de um dado perfeito. Um dado que possui seis faces numeradas de 1 a 6. De forma que os eventos sejam definidos abaixo:
PARA: Que é maior que 2. (3,4,5,6) na probabilidade é 4/6 => P (A) = 0,67
C: Deixe cinco saírem. (5) na probabilidade é 1/6 => P (C) = 0,17
Qual é a probabilidade de A ∩ C?
P (A ∩ C) = P (A) + P (C) - P (A U C)
Como P (A) e P (C) já o possuem, vamos calcular P (A U C)
A U C = (3,4,5,6) em probabilidades P (A U C) = 4/6 = 0,67
O resultado final é:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,67 = 0,17 (17%)
A probabilidade de que saia maior que 2 e ao mesmo tempo que seja cinco é de 17%.
