União de eventos - O que é, definição e conceito

A união de eventos é uma operação cujo resultado é composto por todos os eventos elementares não repetidos que dois ou mais conjuntos têm em comum e não em comum.

Ou seja, dados dois conjuntos A e B, a união de A e B seria formada por todos os conjuntos não repetitivos que possuem A e B. Intuitivamente, a probabilidade de união dos eventos de A e B implicaria em responder ao pergunta: Qual é a probabilidade de que A saia ou de que B saia?

O símbolo para a união de eventos é U. De forma que se quisermos notar matematicamente a união de dois eventos B e D, nós a notaremos como: B U D.

Generalização da união de eventos

Até agora vimos e indicamos a união de dois eventos. Por exemplo, A U B ou B U D. Mas e se tivermos três, quatro e até cem eventos?

Isso é o que chamamos de generalização, ou seja, uma fórmula que nos ajuda a perceber a operação de união de eventos nesses casos. Se tivermos 8 eventos, em vez de escrever os dez eventos, usaremos a seguinte notação:

Em vez de chamar cada evento de A, B ou qualquer letra, vamos chamar de sim. S é o evento e o subscrito i indica o número. De forma que teremos, aplicado ao exemplo de 10 eventos, o seguinte:

O que fizemos foi aplicar a notação anterior e desenvolvê-la. Agora, nem sempre precisaremos. Principalmente quando se trata de um grande número de eventos.

União de eventos disjuntos e não disjuntos

O que o conceito de eventos disjuntos indica é que dois eventos não têm elementos em comum.

Quando eles são separados, a operação de união de eventos é simples. Você só precisa somar as probabilidades de ambos, para obter a probabilidade de que um ou outro evento ocorra. No entanto, quando os eventos não são separados, um pequeno detalhe deve ser adicionado. Os elementos repetidos devem ser eliminados. Por exemplo:

Suponha um espaço de resultado que vai de 1 a 5. Os eventos são os seguintes:

Evento A: (1,2,4) -> 60% de probabilidade = 0,6

Evento B: (1,4,5) -> 60% de probabilidade = 0,6

A operação A U B, intuitivamente, seria somar os eventos de A e os eventos de B, mas se fizermos isso, a probabilidade seria de 1,2 (0,6 + 0,6). E como indicam os axiomas de probabilidade, a probabilidade deve estar sempre entre 0 e 1. Como resolvemos isso? Subtraindo a interseção dos eventos A e B. Ou seja, removendo os elementos que se repetem:

A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)

A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)

Passando para as probabilidades, teríamos que:

P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)

De fato, a probabilidade de que apareça 1 ou 2 ou 4 ou 5. Supondo que todos os números tenham a mesma probabilidade de acontecer é de 80%.

Graficamente, seria assim:

Propriedades de união de eventos

A união de eventos é um tipo de operação matemática. Alguns tipos de operação também são adição, subtração, multiplicação. Cada um deles possui uma série de propriedades. Por exemplo, sabemos que o resultado da adição de 3 + 4 é exatamente o mesmo da adição de 4 +3. Neste ponto, a união do evento tem várias propriedades que vale a pena conhecer:

• Comutativo: Isso significa que a ordem em que está escrito não altera o resultado. Por exemplo:
  • A U B = B U A
  • C U D = D U C
• Associativo: Supondo que haja três eventos, não nos importamos qual deles fazer primeiro e qual fazer a seguir. Por exemplo:
  • (A U B) U C = A U (B U C)
  • (A U C) U B = (A U B) U C
• Distributiva: Quando incluímos o tipo de interseção de operação, a propriedade distributiva é mantida. Basta olhar para o seguinte exemplo:
  • A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

Exemplo de união de evento

Um exemplo simples da união de dois eventos A e B seria o seguinte. Suponha o caso do lançamento de um dado perfeito. Um dado que possui seis faces numeradas de 1 a 6. De forma que os eventos sejam definidos abaixo:

PARA: Que é maior que 2. (3,4,5,6) na probabilidade é 4/6 => P (A) = 0,67

C: Deixe cinco saírem. (5) na probabilidade é 1/6 => P (C) = 0,17

Qual é a probabilidade de A U C?

P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)

Como P (A) e P (C) já o possuem, vamos calcular P (A ∩ C)

A ∩ C = (5) nas probabilidades P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17

O resultado final é:

P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)

A probabilidade de rolar mais do que 2 ou de rolar 5 é de 67%.