Um estimador imparcial é aquele cuja expectativa matemática coincide com o valor do parâmetro que você deseja estimar. Se eles não coincidirem, diz-se que o estimador tem viés.
A razão para procurar um estimador imparcial é que o parâmetro que queremos estimar é bem estimado. Ou seja, se quisermos estimar a média de gols por jogo de um determinado jogador de futebol, temos que usar uma fórmula que nos dê um valor o mais próximo possível do valor real.
Caso a expectativa do estimador não coincida com o valor verdadeiro do parâmetro, diz-se que o estimador tem um viés. A tendência é medida como a diferença entre o valor esperado do estimador e o valor verdadeiro. Matematicamente, pode ser notado da seguinte forma:
Pela fórmula acima, a primeira e a última parte são claras. Ou seja, a expectativa do estimador é igual ao valor verdadeiro do parâmetro. Se essa igualdade for mantida, o estimador é imparcial. A parte do meio matematicamente mais abstrata é explicada no próximo parágrafo.
A média de todas as estimativas que o estimador pode fazer para cada amostra diferente é igual ao parâmetro. Por exemplo, se temos 30 amostras diferentes, o normal é que em cada amostra o estimador (mesmo que apenas ligeiramente) ofereça valores diferentes. Se tomarmos a média dos 30 valores do estimador nas 30 amostras diferentes, o estimador deve retornar um valor igual ao valor verdadeiro do parâmetro.
Ponto estimadoO viés de um estimador
Nem sempre é possível encontrar um estimador imparcial para calcular um determinado parâmetro. Portanto, nosso estimador pode estar enviesado. O fato de um estimador ter viés não significa que ele não seja válido. Significa simplesmente que não se ajusta tão bem quanto gostaríamos estatisticamente.
Dito isso, mesmo que não se encaixe tão bem quanto gostaríamos, às vezes não temos escolha a não ser usar um estimador enviesado. Portanto, é de vital importância que saibamos o tamanho desse viés. Se soubermos disso, podemos usar essa informação nas conclusões de nossa investigação. Matematicamente, o viés é definido da seguinte forma:
Na fórmula acima, a tendência é um valor diferente de zero. Se fosse zero, o estimador seria imparcial.
Exemplo de um estimador imparcial
Um exemplo de um estimador imparcial é encontrado no estimador médio. Esse estimador é conhecido nas estatísticas como a média da amostra. Se usarmos a fórmula matemática descrita no início, concluímos que a média da amostra é um estimador imparcial. Antes de operar, devemos levar em consideração as seguintes informações:
Denotamos X com uma barra acima da média da amostra.
A fórmula para a média da amostra é a soma dos n valores que dividimos pelo número de valores. Se tivermos 20 dados, n será igual a 20. Teremos que somar os valores dos 20 dados e dividi-los por 20.
A notação acima significa expectativa ou valor esperado da média da amostra. Coloquialmente, podemos dizer que é calculado como o valor médio da média da amostra. Com isso em mente, usando as técnicas matemáticas adequadas, podemos deduzir o seguinte:
A expectativa do estimador coincide com 'mu', que é o verdadeiro valor do parâmetro. Ou seja, o verdadeiro meio. Tudo está dito, alguns conceitos básicos sobre matemática são necessários para entender o desenvolvimento anterior.
Da mesma forma, poderíamos tentar fazer o mesmo com o estimador da variância da amostra. No que segue, S ao quadrado é a variância da amostra e a letra grega sigma (que se parece com a letra o com um stick à direita) é a variância real.
A diferença da fórmula acima é a segunda parte da primeira fórmula. Quer dizer:
Concluímos que a variância da amostra como estimador da variância da população é enviesada. Seu viés é igual ao valor indicado acima. Assim, depende da variância da população e do tamanho da amostra (n). Observe que se n (tamanho da amostra) se tornar muito grande, a tendência tende a zero.
Se quando a amostra tende a ser muito grande, o estimador se aproxima do valor verdadeiro do parâmetro, então estamos falando de um estimador não enviesado assintoticamente.