Logaritmo natural - O que é, definição e conceito

O logaritmo natural, ln (x), é o inverso da função exponencial e definido em x apenas para números reais positivos.

Intuitivamente, o que o logaritmo natural se destina a resolver é a seguinte equação:

e^Y= x

Onde 'y' seria o resultado que procuramos. Ou seja, se x é 20, quanto 'y' deve valer ao aumentá-lo para 'e' para que a equação seja cumprida. Por exemplo, o resultado de ln (20)

e^Y= 20 ⇒ y = 3

Levando em consideração que o número 'e' vale 2,7182818 … verificamos que se o aumentarmos para 3, o resultado é de fato 20,07. Isso ocorre porque o logaritmo natural de 20 é, na verdade, 2,99. Mas, neste exemplo, usamos 3 para tornar mais fácil.

Domínio do logaritmo natural

Matematicamente, o domínio do logaritmo natural é:

(x ∈ ℜ: x> 0)

Ou seja, x deve ser um número real maior que zero. Caso contrário, a função não existe. A maneira de verificar isso é francamente simples. Só precisamos verificar com um número zero ou menos. Por exemplo:

e^Y= 0 ⇒ y = Não há resultado

Não existe um número 'y' que, quando elevado a 'e', ​​resulte em zero. Podemos chegar muito perto de zero, mas o resultado nunca será zero.

De uma forma mais precisa, podemos estender a definição além de reais positivos para números complexos. Para qualquer real x negativo, definiríamos, onde efetivamente eu corresponde à raiz quadrada de (-1). No entanto, esta é uma nota mais avançada e não é objetivo colocar detalhes sobre números complexos nesta explicação.

Representação gráfica do logaritmo natural

A representação gráfica desta função é:

Lembrando que a função que estamos representando é e^Y= x, vemos que conforme o valor de 'y' muda, o mesmo ocorre com o de 'x'. Vamos verificar se o gráfico está de acordo com a equação. Podemos ver que quando 'y' é zero, então 'x' é igual a 1. Aplicando a equação:

e^Y= 0 ⇒ e⁰=1

Na verdade, em matemática sabemos que qualquer número, quando elevado a 0, resulta em 1.

Aplicação em finanças e economia

Em finanças, apenas reais positivos são considerados, uma vez que normalmente são usados ​​para calcular continuamente os retornos sobre os preços listados de ativos financeiros. Os preços geralmente são positivos, portanto atendem à restrição (x> 0), onde x é o preço neste caso.

O uso mais frequente em economia é em análises econométricas, onde regressões simples e / ou múltiplas incorporam logaritmos nas equações a fim de fornecer estabilidade nos regressores, reduzir observações atípicas e estabelecer diferentes visões da estimativa, entre outras aplicações.

Em última análise, o motivo pelo qual os logaritmos naturais são usados ​​em econometria é para facilitar as operações a serem realizadas. Os logaritmos têm certas propriedades que permitem que operações matemáticas complexas sejam realizadas de forma relativamente rápida e fácil.