O logaritmo natural, ln (x), é o inverso da função exponencial e definido em x apenas para números reais positivos.
Intuitivamente, o que o logaritmo natural se destina a resolver é a seguinte equação:
eY= x
Onde 'y' seria o resultado que procuramos. Ou seja, se x é 20, quanto 'y' deve valer ao aumentá-lo para 'e' para que a equação seja cumprida. Por exemplo, o resultado de ln (20)
eY= 20 ⇒ y = 3
Levando em consideração que o número 'e' vale 2,7182818 … verificamos que se o aumentarmos para 3, o resultado é de fato 20,07. Isso ocorre porque o logaritmo natural de 20 é, na verdade, 2,99. Mas, neste exemplo, usamos 3 para tornar mais fácil.
Domínio do logaritmo natural
Matematicamente, o domínio do logaritmo natural é:
(x ∈ ℜ: x> 0)
Ou seja, x deve ser um número real maior que zero. Caso contrário, a função não existe. A maneira de verificar isso é francamente simples. Só precisamos verificar com um número zero ou menos. Por exemplo:
eY= 0 ⇒ y = Não há resultado
Não existe um número 'y' que, quando elevado a 'e', resulte em zero. Podemos chegar muito perto de zero, mas o resultado nunca será zero.
De uma forma mais precisa, podemos estender a definição além de reais positivos para números complexos. Para qualquer real x negativo, definiríamos, onde efetivamente eu corresponde à raiz quadrada de (-1). No entanto, esta é uma nota mais avançada e não é objetivo colocar detalhes sobre números complexos nesta explicação.
Representação gráfica do logaritmo natural
A representação gráfica desta função é:
Lembrando que a função que estamos representando é eY= x, vemos que conforme o valor de 'y' muda, o mesmo ocorre com o de 'x'. Vamos verificar se o gráfico está de acordo com a equação. Podemos ver que quando 'y' é zero, então 'x' é igual a 1. Aplicando a equação:
eY= 0 ⇒ e0=1
Na verdade, em matemática sabemos que qualquer número, quando elevado a 0, resulta em 1.
Aplicação em finanças e economia
Em finanças, apenas reais positivos são considerados, uma vez que normalmente são usados para calcular continuamente os retornos sobre os preços listados de ativos financeiros. Os preços geralmente são positivos, portanto atendem à restrição (x> 0), onde x é o preço neste caso.
O uso mais frequente em economia é em análises econométricas, onde regressões simples e / ou múltiplas incorporam logaritmos nas equações a fim de fornecer estabilidade nos regressores, reduzir observações atípicas e estabelecer diferentes visões da estimativa, entre outras aplicações.
Em última análise, o motivo pelo qual os logaritmos naturais são usados em econometria é para facilitar as operações a serem realizadas. Os logaritmos têm certas propriedades que permitem que operações matemáticas complexas sejam realizadas de forma relativamente rápida e fácil.