Matrix Quadratic Form - O que é, definição e conceito

A forma quadrática da matriz é o produto da multiplicação de um vetor de ordem n com qualquer matriz quadrada pelo vetor de ordem n transposta.

Em outras palavras, a forma quadrática da matriz é uma combinação linear de uma matriz quadrada, um vetor de ordem n e a transposta desse vetor.

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Fórmula da forma quadrática da matriz

Dada uma matriz quadrada Z de ordem ne um vetor h de n dimensões, podemos escrever a expressão chamada forma quadrática da forma:

O resultado da forma quadrática será sempre um escalar, ou seja, um único número, não uma matriz.

Formulários

A forma quadrática da matriz é usada para encontrar o grau de positividade e negatividade das matrizes definidas. Dependendo dos valores do vetor h, o valor da forma quadrática será zero (0), positivo ou negativo.

Uma vez obtida a forma quadrática, podemos dizer que "definimos" a matriz. Portanto, podemos falar sobre uma matriz definida. Esta matriz pode ser definida positiva, semi-definida positiva, definida negativa e semi-definida negativa.

Exemplo prático

Encontrando a forma quadrática da matriz quadrada Z dado um vetor h:

Processar

Primeiro, transpomos o vetor h.

Em seguida, aplicamos a fórmula da forma quadrática.

Como já dissemos, o resultado da forma quadrática será sempre um único número. Nesse caso, é um número estritamente positivo.

Mas … Como pode ser que o resultado seja um número concreto e não uma matriz se estamos multiplicando matrizes?

A redução da dimensão da matriz a partir da multiplicação ocorre porque estamos multiplicando matrizes que compartilham o mesmo número de colunas e linhas.

Demonstração:

Do produto da matriz Z e do vetor transposto h permanece um vetor de dimensão 3 × 1. Da mesma forma, o produto do vetor resultado pelo vetor h permanece uma matriz de dimensão 1 × 1. Uma matriz de dimensão 1 × 1 é um escalar.

Portanto, se calcularmos a forma quadrática de uma matriz e obtermos uma matriz com uma dimensão maior que 1 × 1 (obtemos outro resultado diferente de um número específico), isso significará que cometemos um erro em alguma etapa e que o resultado está errado.