Autovetores são vetores multiplicados por um autovalor nas transformações lineares de uma matriz. Os autovalores são constantes que multiplicam os autovetores nas transformações lineares de uma matriz.
Em outras palavras, os autovetores traduzem a informação da matriz original na multiplicação de valores e uma constante. Os autovalores são essa constante que multiplica os autovetores e participa da transformação linear da matriz original.
Embora seu nome em espanhol seja muito descritivo, em inglês os autovetores são chamados autovetores e os valores próprios, autovalores.
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Vetores Próprios
Os autovetores são conjuntos de elementos que, ao multiplicar qualquer constante, são equivalentes à multiplicação da matriz original e dos conjuntos de elementos.
Matematicamente, um autovetorV= (v1, …, Vn) de uma matriz quadradaQ é qualquer vetorV que satisfaz a seguinte expressão para qualquer constanteh:
QV = hV
Valores próprios
A constante h é o autovalor que pertence ao autovetor V.
Os autovalores são as raízes reais (raízes que têm números reais como solução) que encontramos por meio da equação característica.
Características dos valores próprios
- Cada autovalor tem autovetores infinitos, uma vez que existem infinitos números reais que podem fazer parte de cada autovetor.
- Eles são escalares, podem ser números complexos (não reais) e podem ser idênticos (mais de um autovalor igual).
- Existem tantos valores próprios quanto o número de linhas (m) ou colunas (n) tem a matriz original.
Vetores e valores próprios
Existe uma relação de dependência linear entre vetores e autovalores, uma vez que os autovalores multiplicam os autovetores.
Matematicamente
Se V é um autovetor da matrizZ Y h é o autovalor da matriz Z, entãohV é uma combinação linear entre vetores e valores próprios.
Função característica
A função característica é usada para encontrar os valores próprios de uma matrizZ quadrado.
Matematicamente
(Z - hl) V = 0
Onde ZYh são definidos acima eeu é a matriz de identidade.
Termos
Para encontrar vetores e valores próprios de uma matriz, ela deve ser satisfeita:
- Matriz Z quadrado: o número de linhas (m) é igual ao número de colunas (n).
- Matriz Z real. A maioria das matrizes usadas em finanças têm raízes reais. Qual a vantagem de usar raízes reais? Bem, os autovalores da matriz nunca serão números complexos, e isso, amigos, resolve muito a nossa vida.
- Matrix (Z- Oi) não invertível: determinante = 0. Essa condição nos ajuda a sempre encontrar autovetores diferentes de zero. Se encontrarmos autovetores iguais a 0, a multiplicação entre os valores e os autovetores será zero.
Exemplo prático
Supomos que queremos encontrar os vetores e autovalores de umZ Matriz de dimensão 2 × 2:
1. Substituímos a matriz Z Yeu na equação característica:
2. Corrigimos os fatores:
3. Multiplicamos os elementos como se estivéssemos procurando o determinante da matriz.
4. A solução para esta equação quadrática é h = 2 e h = 5. Dois valores próprios porque o número de linhas ou colunas na matriz Z é 2. Então, encontramos os valores próprios da matriz Z o que, por sua vez, torna o determinante 0.
5. Para encontrar os autovetores, teremos que resolver:
6. Por exemplo, (v1, v2) = (1,1) para h = 2 e (v1, v2) = (- 1,2) para h = 5:
