O trapézio isósceles é aquele em que seus dois lados não paralelos, aqueles que unem as duas bases da figura, têm o mesmo comprimento.
Deve-se lembrar que um trapézio é um quadrilátero (polígono de quatro lados) caracterizado por ter dois lados chamados bases. São paralelos (não se cruzam, nem mesmo se prolongados) e de comprimentos diferentes. Além disso, seus outros dois lados não são paralelos.
O trapézio isósceles é um dos três tipos de trapézio, junto com o trapézio direito e o trapézio escaleno.
Características do trapézio isósceles
Dentre as características do trapézio isósceles, destacam-se:
- Na figura abaixo, se o trapézio for isósceles, os lados AB e CD têm o mesmo comprimento.
- Os dois ângulos internos, localizados na mesma base, medem da mesma forma. Se nos guiarmos pela imagem abaixo, o seguinte seria verdadeiro: α = β e δ = γ.
- As diagonais na figura, AC e DB, têm o mesmo comprimento.
- Os ângulos internos, que são opostos, são complementares. Ou seja, eles formam um ângulo reto. Na imagem inferior seria observado o seguinte: α + γ = α + δ = β + δ = β + γ = 180º.
- Dois de seus ângulos internos são agudos (menores que 90º), enquanto os outros dois são obtusos (maiores que 90º). Assim, na figura abaixo, α e β são obtusos, enquanto δ e γ são agudos.
- Os quatro ângulos internos somam 360º.
- O trapézio isósceles é o único tipo de trapézio que pode ser inscrito em uma circunferência. Ou seja, seus quatro vértices podem passar pelo perímetro de um círculo (veja o desenho abaixo).
- Possui um eixo de simetria, que seria a linha EF da imagem abaixo. Este é perpendicular às bases (forma um ângulo reto ou 90º) e as corta em seu ponto médio. Assim, ao desenhar o referido eixo, o polígono é dividido em duas partes simétricas. Ou seja, cada ponto de um lado corresponde a um ponto do outro lado, ambos equidistantes do eixo de simetria. Por exemplo, a distância entre o ponto B e o ponto F é a mesma distância que existe entre o ponto F e o ponto C.
Perímetro e área do trapézio isósceles
Para entender melhor as características de um trapézio isósceles, podemos calcular as seguintes medidas:
- Perímetro: Adicionamos o comprimento de cada lado da figura: P = AB + BC + CD + AD.
- Área: Como em qualquer trapézio, para encontrar sua área somam-se as bases, divididas por dois e multiplicadas pela altura. Conforme indicado na fórmula mostrada abaixo:
Agora, para calcular a altura podemos desenhar duas alturas a partir dos vértices A e D, como podemos ver na figura abaixo:
Temos, então, o triângulo ADFG; onde AD é igual a FG, e os triângulos formados nas laterais são congruentes. Portanto, BF é o mesmo que GC. Vamos supor que ambos medem para.
Portanto, seria verdade que:
Agora notamos que os triângulos formados lateralmente são triângulos retângulos, então o teorema de Pitágoras pode ser aplicado. Por exemplo, no triângulo ABF, AB é a hipotenusa, enquanto AF (a altura que chamaremos de h) e BF são as pernas.
Também devemos ter em mente que AB é igual a DC. Assim, se substituirmos o acima na fórmula para a área, teríamos a área em função dos lados do trapézio:
Outra forma de calcular a área de um trapézio é multiplicando as diagonais, dividindo por dois e multiplicando pelo seno do ângulo que formam quando se cruzam, lembrando que as duas diagonais são iguais:
É importante notar que na intersecção das diagonais, os ângulos opostos são iguais e seu adjacente é seu ângulo suplementar.
Sabendo então que o seno de um ângulo é igual ao seno de seu ângulo suplementar, qualquer um dos ângulos na interseção das diagonais pode ser escolhido.
Resumindo, na imagem abaixo é verdade que: α = γ, β = δ e α + β = γ + δ = α + δ = β + γ = 180º
Para encontrar a diagonal, podemos usar a seguinte fórmula:
Portanto, a área seria:
Exemplo de trapézio isósceles
Imaginemos que temos um trapézio com bases que medem 4 e 8 metros, enquanto os lados não paralelos medem 3,6 metros cada, sendo ambos iguais (logo o trapézio é isósceles), qual é o comprimento do perímetro (P), da área ( A) e a diagonal (D) da figura?
