A matriz de variância-covariância é uma matriz quadrada de dimensão nxm que coleta as variâncias na diagonal principal e as covariâncias nos elementos fora da diagonal principal.
Em outras palavras, a matriz de variância-covariância é uma matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas e tem as variâncias distribuídas na diagonal principal e as covariâncias nos elementos fora da diagonal principal.
CovariânciaRepresentação matricial
A matriz de variância-covariância é geralmente expressa como
Embora pareça que é o símbolo da soma e que não tem relação com a matriz de variância-covariância, esta letra grega representa perfeitamente o conteúdo desta matriz.
Para entendê-lo, primeiro vamos examinar sua expressão:
Saber que existe m colunas, as reticências indicam que as colunas entre a segunda e a última coluna foram omitidas. Da mesma forma, sabendo que existe n linhas, as reticências indicam que as linhas entre a segunda e a última foram omitidas.
Nesse caso, usamos sigma para representar as covariâncias e sigma ao quadrado para as variâncias. Como um exemplo:
Que letra grega aparece em todos os elementos da matriz? O sigma.
Portanto, é lógico que, para definir a matriz de variância-covariância, também seja utilizado um sigma.
Letra grega
é a forma de capital de
Portanto, se lembrarmos que a matriz de variância-covariância é expressa em maiúsculas de sigma, será mais fácil lembrar sua definição.
Requisitos para que seja uma matriz de variância-covariância
Os requisitos para uma matriz ser variância-covariância são os seguintes:
- Matriz quadrada: mesmo número de linhas (n) que colunas (m), então, n = m, e portanto, a dimensão desta matriz pode ser expressa tanto nxm quanto nxn.
- No diagonal principal existem variações:
- Fora da diagonal principal existem covariâncias:
Aplicativo
A matriz de variância-covariância é muito popular em econometria, pois é usada principalmente no cálculo da matriz dos coeficientes de regressão linear usando Mínimos Quadrados Ordinários, entre outros usos.
Em finanças, é usado para obter uma imagem geral da volatilidade dos ativos financeiros.
Expressão matemática de variância e covariância
A matemática é expressa da seguinte forma:
- Covariância do elemento n = 1 e m = 2
- Variância do elemento n = 1 e m = 1
Tanto a variância quanto a covariância podem ser corrigidas. Ou seja, o denominador é n-1 em vez de n. Isso se deve aos graus de liberdade e depende se estamos falando de variâncias e covariâncias populacionais ou amostrais.