Estimador consistente - O que é, definição e conceito

Um estimador consistente é aquele cujo erro de medição ou viés se aproxima de zero quando o tamanho da amostra se aproxima do infinito.

A partir da definição de um estimador imparcial, podemos chegar à conclusão de que às vezes temos erros de estimativa. Agora, há casos em que quando a amostra fica maior o erro diminui.

Às vezes, devido às características do estimador utilizado, conforme o tamanho da amostra aumenta, o erro também aumenta. Esse estimador não seria desejável de usar. Ora, a priori, não sabemos para onde tende o viés. Se tende a zero, tende a certo valor ou tende ao infinito à medida que o tamanho da amostra aumenta.

Dito isso, é necessário definir o conceito de consistência. Para eles, temos que dizer que existem dois tipos de consistência. Por um lado, existe a consistência simples. Enquanto, por outro lado, a consistência é encontrada no quadrado médio.

Em outras palavras, são duas ferramentas matemáticas que nos permitem calcular para qual número ou números nosso estimador converge.

Consistência simples

Um estimador cumpre a propriedade de consistência simples se a seguinte equação for satisfeita:

Da esquerda para a direita, a equação é lida da seguinte forma: O limite, quando o tamanho da amostra tende ao infinito, da probabilidade de que a diferença absoluta entre o valor do estimador e o valor do parâmetro seja maior que o erro, é igual a zero .

Entende-se que o valor do erro observado pelo épsilon, deve ser maior que zero.

Intuitivamente, a fórmula indica que quando o tamanho da amostra se torna muito grande, a probabilidade de um erro maior que zero é zero. Ao contrário, a probabilidade de não haver erro quando o tamanho da amostra é muito grande é, falando em probabilidades, praticamente 100%.

Estimador consistindo em média quadrática

Outra ferramenta que pode ser usada para verificar se um estimador é consistente é a raiz do erro quadrático médio. Esta ferramenta matemática é ainda mais poderosa do que a anterior. A razão é que a exigência dessa condição é maior.

Na seção anterior, o requisito era que, probabilisticamente falando, a possibilidade de um erro ser zero ou muito próximo de zero.

Agora, o que estamos exigindo é definido pela seguinte igualdade matemática:

Ou seja, quando o tamanho da amostra é grande, a expectativa matemática dos erros quadrados é zero. A única opção para esse valor ser zero é que o erro sempre seja zero. Por quê? Como o erro de estimativa é elevado para dois (Estimador - Valor verdadeiro do parâmetro), o resultado será sempre positivo. A menos que o erro seja zero. Zero elevado a dois é zero.

Obviamente, se o limite retornar 0,0001, podemos assumir que é igual a zero. É quase impossível para o mapa de erro quadrático médio ir a zero.

Estatisticamente falando, diremos que um estimador é consistente na média quadrática, caso a expectativa do erro quadrático do estimador levando em conta diferentes amostras seja zero ou muito próxima.