A expectativa matemática de uma variável aleatória X é o número que expressa o valor médio do fenômeno que essa variável representa.
A expectativa matemática, também chamada de valor esperado, é igual à soma das probabilidades de que um evento aleatório exista, multiplicada pelo valor do evento aleatório. Em outras palavras, é o valor médio de um conjunto de dados. Isso, levando em consideração que o termo expectativa matemática é cunhado pela teoria da probabilidade.
Já na matemática, o valor médio de um evento ocorrido é chamado de média matemática. Em distribuições discretas com a mesma probabilidade em cada evento, a média aritmética é igual à expectativa matemática.
Exemplo de expectativa matemática
Vamos ver um exemplo simples para entender isso.
Vamos imaginar uma moeda. Duas caras, cara e coroa. Qual seria a expectativa matemática (valor esperado) de que sairia cara?
A expectativa matemática seria calculada como a probabilidade de que, ao jogar a moeda um grande número de vezes, ela dê cara.
Como a moeda só pode cair em uma dessas duas posições e ambas têm a mesma probabilidade de sair, diremos que a expectativa matemática de que saia cara é uma em duas, ou seja, 50% de o tempo.
Vamos fazer um teste e jogar uma moeda 10 vezes. Suponha que a moeda seja perfeita.
Giros e resultado:
- Caro.
- Cruz.
- Cruz.
- Caro.
- Cruz.
- Caro.
- Caro.
- Caro.
- Cruz.
- Cruz.
Quantas vezes foi cara (contamos os C's)? 5 vezes Quantas vezes as caudas saíram (contamos os X)? 5 vezes. A probabilidade de ser cara será 5/10 = 0,5 ou, em porcentagem, 50%.
Uma vez que o evento ocorreu, podemos calcular a média matemática do número de vezes que cada evento ocorreu. O lado caro sai uma em cada duas vezes, ou seja, 50% das vezes. A média corresponde à expectativa matemática.
Cálculo da expectativa matemática
A expectativa matemática é calculada usando a probabilidade de cada evento. A fórmula que formaliza esse cálculo é a seguinte:
Onde:
- X = valor do evento.
- P = Probabilidade de acontecer.
- eu = Período em que este evento ocorre.
- N = Número total de períodos ou observações.
A probabilidade de um evento ocorrer nem sempre é a mesma, como acontece com as moedas. Existem inúmeros casos em que um evento tem mais probabilidade de ocorrer do que outro. É por isso que usamos P. Na fórmula, devemos também multiplicar pelo valor do evento ao calcular números matemáticos. Abaixo vemos um exemplo.
Para que é usada a expectativa matemática?
A expectativa matemática é usada em todas aquelas disciplinas nas quais a presença de eventos probabilísticos é inerente a elas. Disciplinas como estatística teórica, física quântica, econometria, biologia ou mercados financeiros. Um grande número de processos e eventos que ocorrem no mundo são imprecisos. Um exemplo claro e fácil de entender é o do mercado de ações.
No mercado de ações, tudo é calculado com base nos valores esperados, por que os valores esperados? Porque é o que esperamos que aconteça, mas não podemos confirmar. Tudo se baseia em probabilidades, não em certezas. Se o valor esperado ou expectativa matemática de retorno de um ativo é de 10% ao ano, significa que, com base nas informações que temos no passado, é mais provável que o retorno volte a ser de 10%. Se levarmos em conta, é claro, a expectativa matemática como método para tomar nossas decisões de investimento.
Dentro das teorias do mercado financeiro, muitos usam esse conceito de expectativa matemática. Entre essas teorias está a que Markowitz desenvolveu sobre carteiras eficientes.
Em números, simplificando muito, suponha que os retornos de um ativo financeiro sejam os seguintes:
Lucratividade nos anos 1, 2, 3 e 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
O valor esperado seria a soma dos retornos multiplicada por sua probabilidade de acontecer. A probabilidade de que cada lucratividade "aconteça" é de 0,25. Temos quatro observações, quatro anos. Todos os anos eles têm a mesma probabilidade de se repetir.
Esperança = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Levando em consideração essas informações, diremos que a expectativa de retorno do ativo é de 11,25%.
Esperança de vida