Função de produção Cobb Douglas

A função de produção Cobb Douglas é uma abordagem neoclássica para estimar a função de produção de um país. Desta forma, podendo assim projetar o crescimento econômico esperado.

Para representar as relações entre o produto obtido, utiliza-se a variação dos insumos capital (K) e trabalho (L), aos quais foi adicionada posteriormente a tecnologia, também chamada de produtividade total dos fatores (PTF). É uma função de produção frequentemente usada na economia.

A origem da função Cobb Douglas encontra-se na observação empírica da distribuição da renda nacional total nos Estados Unidos entre capital e trabalho. De acordo com o que os dados mostraram, a distribuição permaneceu relativamente constante ao longo do tempo. Especificamente, o trabalho consumiu 70% e o capital 30%. Dessa forma, a função Cobb Douglas representa uma relação, onde as proporções de trabalho e capital, com relação ao produto total, são constantes.

Fórmula da função de produção Cobb Douglas

Onde:

• Y = Produção
• PARA= Progresso tecnológico (exógeno), também denominado Produtividade Total do Fator (TFP)
• K = Estoque de capital
• eu = Número de funcionários
• α e β = parâmetros que representam o peso dos fatores (K e L) na receita. Os parâmetros variam entre 0 e 1.

Propriedades da função de produção Cobb Douglas

A função Cobb Douglas possui certas características especiais que facilitam a explicação de teorias como utilidade e produção. Abaixo, descrevemos três de suas características mais relevantes.

• Retornos constantes de escala que dependem da soma de α e β: Retorna à escala para medir a variação na produção antes de uma mudança proporcional em todos os fatores.
  • α + β = 1: Haverá retornos constantes de escala.
  • α + β> 1: Haverá retornos crescentes de escala.
  • α + β <1: Haverá retornos decrescentes de escala.

• Produtividade marginal positiva e decrescente: Esta propriedade reflete a lei dos rendimentos decrescentes dos fatores. Portanto, indica que, à medida que um dos fatores de produção aumenta, enquanto o restante se mantém constante, sua produtividade diminui.
• Elasticidade de produção constante: A elasticidade da produção mede a variação percentual da produção, antes de uma mudança nos insumos utilizados. No caso da função Cobb Douglas, é constante e igual a α para capital e β para trabalho. Assim, por exemplo, se β é igual a 0,2 e o trabalho aumenta em 10%, a produção aumentará em 2%.

Simplificação da função Cobb Douglas

Para estimar o crescimento econômico futuro, é mais útil reformular a função Cobb Douglas, para isso, aplicando logaritmos naturais.

Nesse sentido, assumindo que α + β = 1 (retornos constantes de escala), e mais algumas pequenas hipóteses, podemos estabelecer a taxa de crescimento econômico em função das mudanças nos fatores de produção:

% ΔY ≅ (% ΔA) + α (% ΔK) + (1-α) (% ΔL)

Onde:

• % ΔY = Taxa de variação esperada do PIB
• % ΔTFP = Crescimento total da produtividade do fator (TFP)
• % ΔK = Crescimento do Estoque de Capital
• % ΔL = Crescimento no número de funcionários
• α = Elasticidade do capital sobre a produção

Essa fórmula é amplamente utilizada no mercado de ações para estimar o crescimento econômico. Estudos empíricos sugerem que seria razoável supor que o crescimento do emprego (L) tem um efeito linear sobre o crescimento do emprego.

Exemplo de função Cobb Douglas

Vamos calcular o crescimento econômico assumindo que a PTF, o capital (K) e o emprego (L) crescem 1,5%, 0,2% e 1,7% respectivamente, se a elasticidade do capital (α) for igual a 0,35:

% ΔY = 1,5% + 0,35 (0,2%) + (1-0,35) (1,7) = 2,675%

Capital humano na função Cobb Douglas

O capital humano é considerado um fator de produção muito importante. Tanto que, nos estudos de Uzawa (1965) e Lucas (1988), foi introduzida como a principal variável da função de produção Cobb-Douglas. Desta forma, substituindo o fator trabalho (L), pelo fator capital humano (H), e mantendo a tecnologia (A) e o capital financeiro (k):