Matriz não simétrica - O que é, definição e conceito

Uma matriz não simétrica é uma matriz não quadrada em que os elementos da matriz transposta estão em posições diferentes dos elementos da matriz original.

Em outras palavras, a matriz não simétrica é uma matriz onde o número de linhas (n) é diferente do número de colunas (m) e a transposta da matriz é diferente da matriz original.

É importante não confundir matrizes não simétricas com matrizes anti-simétricas, uma vez que são conceitos muito diferentes e se referem a diferentes elementos dentro da matriz.

Para uma matriz ser simétrica, ela deve ser uma matriz quadrada e deve ser igual à sua matriz transposta. Em outras palavras, que o número de linhas (n) seja igual ao número de colunas (m) e que os elementos da matriz não mudem uma vez que as linhas tenham sido alteradas pelas colunas.

Matematicamente, o conceito de simetria significa que, aplicando a operação de transposição, os elementos da matriz não serão alterados.

A matriz simétrica e espelhos

Compreenderemos melhor o conceito de matriz não simétrica se pensarmos no efeito que um espelho produz.

Se olharmos no espelho, veremos nosso rosto refletido; se levantarmos a mão, a mão também se levantará no espelho. Da mesma forma que, se fizermos algum gesto, aparecerá o mesmo gesto refletido.

Bem, a mesma coisa acontece com a diagonal principal de uma matriz simétrica. Os itens abaixo ou acima da diagonal principal serão os mesmos. Ou seja, a diagonal principal de uma matriz simétrica atua como um espelho dos elementos ao seu redor.

Dada uma matriz simétrica S,

A matriz S transposto teria a seguinte forma:

Para mais informações sobre suas propriedades matemáticas consulte o artigo sobre matriz simétrica.

A matriz não simétrica e espelhos

No caso da matriz não simétrica, é como se o espelho se quebrasse.

E quando um espelho é quebrado, ele não reflete bem os elementos à sua frente. Podemos levantar a mão direita e ver que quatro mãos são levantadas ou nenhuma é levantada.

Então, aplicando a mesma lógica, a matriz não simétrica é sobre não ter os mesmos elementos acima ou abaixo da diagonal principal e também que eles não são iguais.

Tal que:

Nesta matriz não encontramos a diagonal principal e, portanto, não há simetria no número de elementos. Além disso, se transpormos a matriz anterior, veremos que ela não retém seu estado original.

A matriz NS transposto teria a seguinte forma:

Retomar

Quando nos deparamos com o conceito de matriz não simétrica, basta pensar na matriz simétrica e colocar uma negação diante de suas características. Ou seja, uma matriz não simétrica será tal que satisfaça:

• Matriz não quadrado.
• Matriz transposta não igual à matriz original.

Pode parecer fácil lembrar o que é uma matriz não simétrica, mas quando trabalhamos com matrizes anti-simétricas às vezes confundimos os conceitos.