O tetraedro é um poliedro com quatro faces, seis arestas e quatro vértices. É uma figura tridimensional formada por vários polígonos que, neste caso, são triângulos..
O tetraedro é caracterizado por ser o mais simples dos poliedros, e o único que possui menos de cinco lados.
Vale ressaltar que um tetraedro é uma pirâmide de base triangular.
Elementos de um tetraedro
Os elementos de um tetraedro, que nos orientam a partir da figura abaixo, são:
- Rostos: Eles são os lados do tetraedro que, como mencionamos, são triângulos (ABC, ADC, ADB e BDC.
- Arestas: É a união de duas faces: AB, AC, AD, BC, CD e DB.
- Vértices: São aqueles pontos onde as arestas se encontram: A, B, C e D.
- Ângulo diédrico: É formado pela união de duas faces.
- Ângulo poliedro: É aquele constituído pelos lados que coincidem em um único vértice.
Área e volume do tetraedro
Para conhecer as características do tetraedro, podemos calcular:
- Área: A área dos quatro triângulos que compõem o poliedro teria que ser adicionada. Nesse sentido, devemos lembrar que a área de um triângulo é calculada multiplicando a base pela altura e dividindo por 2 (A = bxh / 2)
- Volume: Seria calculado com a seguinte fórmula
Na fórmula, b é qualquer face do poliedro eh é a altura ou segmento que une b com seu vértice oposto. Além disso, a altura é perpendicular à base (formam um ângulo reto ou que medem 90º).
Tetraedro regular
Quando todos os triângulos que constituem o tetraedro são triângulos equiláteros idênticos entre si, nos deparamos com um tetraedro regular. Ou seja, seria o caso de um poliedro regular, cujas faces são todas iguais e cada uma é também um polígono regular.
Neste ponto, devemos lembrar que um polígono regular é aquele em que todos os lados têm o mesmo comprimento e também seus ângulos internos são todos iguais.
Lembre-se então que a área (A) de um triângulo equilátero pode ser calculada usando a fórmula de Heron onde a, b e c são as medidas dos lados es é o semiperímetro, que é o perímetro (P) entre dois.
Então sim:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Temos que:
Então, como existem quatro triângulos, multiplicamos a área de cada um por 4 para encontrar a área do tetraedro (AT):
Por outro lado, se quisermos calcular o volume, devemos encontrar a altura do poliedro. Para isso, seremos guiados pela seguinte imagem:
Primeiro, vamos calcular a altura (h) da base (o triângulo ABC neste exemplo), que é o segmento EB. O ângulo X mede 90º, portanto o teorema de Pitágoras deve ser cumprido, e a hipotenusa (BA), que mede a (o comprimento de todas as arestas deste tetraedro), é igual à soma de cada perna ao quadrado. Uma das pernas é EA, é o meio do segmento AC (E corta o lado em duas partes iguais) e mede a / 2. Além disso, a segunda perna é a altura da base (h ou EB).
Então, por propriedade do tetraedro regular, sendo F o centro do triângulo, EF será um terço do segmento EB, ou seja, um terço de h.
Próximo passo, para encontrar a altura do tetraedro (DF), podemos aplicar o teorema de Pitágoras novamente porque, como a altura é perpendicular, o ângulo Y está certo (mede 90º).
Olhando para o triângulo DEF, a hipotenusa é DE, que é a altura do triângulo ADC e, como todas as faces são iguais, tem a mesma altura h do triângulo ABC. Por sua vez, uma perna é a altura do tetraedro (DF), que chamaremos de ht, e a outra perna é o segmento EF que já calculamos. Portanto:
Finalmente, para encontrar o volume do tetraedro (V), conforme explicado anteriormente, multiplicamos a altura da figura (ht) pela área da base (A) calculada acima, e a dividimos por três:
Exemplo de tetraedro
Supondo que um tetraedro seja regular e cada lado de suas faces tenha 20 metros. Qual é a área (AT) e o volume (V) da figura?
