O teorema de Darmois é um teorema que permite encontrar uma estatística T para um parâmetro θ com propriedade de suficiente.
Em palavras ainda mais simples, permite encontrar a expressão matemática, se houver, de uma estatística suficiente.
Em relação ao critério de fatoração de Fisher-Neyman, podemos fazer uma consideração. O critério de fatoração de Fisher-Neyman serve para verificar se uma estatística cumpre a propriedade de suficiente e para encontrar a expressão matemática de uma estatística suficiente (se houver). Em contraste, o teorema de Darmois só permite encontrar a expressão matemática (se houver) de uma estatística suficiente.
Digamos que enquanto o critério de fatoração de Fisher-Neyman avança (pesquisa) e retrocede (verifica), o teorema de Darmois apenas avança (pesquisa).
Fórmula do teorema de Darmois
Teoricamente, é expresso, dada uma amostra aleatória simples de uma variável aleatória X com função densidade f (x; θ) com θ ∈ Ω. Se esta função pertence à família exponencial, ou seja, pode ser expressa de forma que:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Então a estatística T = T (x1, …, xn) = Σ a (x)
Para facilitar os cálculos, a notação logarítmica geralmente é realizada:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Claro, é difícil entender toda essa notação matemática. Muitas incógnitas aparecem, muitas letras, muitos operadores. Vamos redefinir isso com palavras coloquiais. Para tanto, começaremos com a definição teórica aplicada a um exemplo:
Suponha uma amostra aleatória de 50 crianças (amostra aleatória simples) a quem perguntamos quanto dinheiro elas gastam por semana em doces (variável aleatória X) com uma dada função de densidade (ver função de densidade). Então, se esta função de densidade podemos expressá-la da seguinte forma:
Vamos estabelecer que a estatística suficiente é a soma da expressão a (x)
As partes da fórmula são definidas da seguinte forma:
- lnβ (θ): É uma função que depende apenas do parâmetro (no nosso caso, a média)
- lnb (x): é uma função que depende apenas da variável aleatória X
- a (x): É uma função que depende apenas de X e multiplica α (θ)
- α (θ): É uma função que depende apenas do parâmetro (no nosso caso a média)
Teorema de Darmois na prática
Embora todos nós tenhamos a capacidade e as ferramentas para descobrir novas estatísticas, isso raramente é a norma. Em outras palavras, professores e especialistas em economia da área pesquisam esses temas.
Pessoalmente, é difícil encontrar alguém que se dedique a fazer esse tipo de pesquisa. Assim, na prática, o importante sobre esse teorema é entender de onde vêm essas estatísticas que usamos.
Por exemplo, para alguém descobrir que a média é uma estatística suficiente, provavelmente usou este processo.