As propriedades dos estimadores são as qualidades que estes podem ter e que servem para escolher aqueles que são mais capazes de dar bons resultados.
Para começar definindo o conceito de estimador, diremos que dada qualquer amostra aleatória (x1, x2, x3,…, Xn) um estimador representa uma população que depende de φ um parâmetro que não conhecemos.
Este parâmetro, que denotamos com a letra grega fi (φ), pode ser, por exemplo, a média de qualquer variável aleatória.
Matematicamente, um estimador Q de um parâmetro depende das observações aleatórias na amostra (x1, x2, x3,…, Xn) e uma função conhecida (h) da amostra. O estimador (Q) será uma variável aleatória porque depende da amostra que contém variáveis aleatórias.
Q = h (x1, x2, x3,…, Xn)
Imparcialidade de um estimador
Um estimador Q de φ é um estimador imparcial se E (Q) = φ para todos os valores possíveis de φ. Definimos E (Q) como o valor esperado ou a expectativa do estimador Q.
No caso de estimadores enviesados, esse enviesamento seria representado como:
Polarização (Q) = E (Q) - φ
Podemos ver que o viés é a diferença entre o valor esperado do estimador, E (Q), e o valor verdadeiro do parâmetro populacional, φ.
Ponto estimadoEficiência de um estimador
Sim Q1 e que2 são dois estimadores imparciais de φ, sua relação com Q será eficiente2 quando Var (Q1) ≤ Var (Q2) para qualquer valor de φ, desde que a amostra estatística de φ seja estritamente maior que 1, n> 1. Onde Var é a variância e n é o tamanho da amostra.
Declarado intuitivamente, assumindo que temos dois estimadores com a propriedade imparcial, podemos dizer que um (Q1) é mais eficiente do que outro (Q2) se a variabilidade dos resultados de um (Q1) é menor que o outro (Q2) É lógico pensar que uma coisa que varia mais do que outra é menos "precisa".
Portanto, só podemos usar este critério para selecionar estimadores quando eles não são imparciais. Na afirmação anterior, quando estamos definindo a eficiência, já assumimos que os estimadores devem ser imparciais.
Para comparar estimadores que não são necessariamente imparciais, ou seja, podem existir vieses, recomenda-se calcular o Erro Quadrado Médio (MSE) dos estimadores.
Se Q é um estimador de φ, então o ECM de Q é definido como:
O erro quadrático médio (MSE) calcula a distância média que existe entre o valor esperado do estimador de amostra Q e o estimador de população. A forma quadrática do ECM se deve ao fato de que os erros podem ser por default, negativos, ou por excesso, positivos, em relação ao valor esperado. Dessa forma, o ECM sempre calculará os valores positivos.
O ECM depende da variância e do viés (se houver), o que nos permite comparar dois estimadores quando um ou ambos são tendenciosos. Aquele cuja EQM for maior será entendido como menos preciso (tem mais erro) e, portanto, menos eficiente.
Consistência de um estimador
A consistência é uma propriedade assintótica. Esta propriedade se assemelha à propriedade de eficiência com a diferença de que a consistência mede a distância provável entre o valor do estimador e o valor real do parâmetro da população conforme o tamanho da amostra aumenta indefinidamente. Esse aumento indefinido no tamanho da amostra é a base da propriedade assintótica.
Existe uma dimensão amostral mínima para realizar a análise assintótica (verifique a consistência do estimador à medida que a amostra aumenta). Grandes aproximações de amostra funcionam bem para amostras de cerca de 20 observações, (n = 20). Em outras palavras, queremos ver como o estimador se comporta quando aumentamos a amostra, mas esse aumento tende ao infinito. Diante disso, fazemos uma aproximação e a partir de 20 observações em uma amostra (n ≥ 20), a análise assintótica é adequada.
Matematicamente, definimos Q1n como um estimador de φ de qualquer amostra aleatória (x1, x2, x3,…, Xn) de tamanho (n) Então, podemos dizer que Qn é um estimador consistente de φ se:
Isso nos diz que as diferenças entre o estimador e seu valor populacional, | Qn - φ |, eles devem ser maiores que zero. Para isso, o expressamos em valor absoluto. A probabilidade desta diferença tende a 0 (fica cada vez menor) quando o tamanho da amostra (n) tende ao infinito (fica cada vez maior).
Em outras palavras, é cada vez menos provável que Qn afasta-se muito de φ quando o tamanho da amostra aumenta.