O módulo de um vetor é o comprimento de um segmento orientado em um espaço que é determinado por dois pontos e sua ordem.
Em outras palavras, o módulo de um vetor é o comprimento entre o início e o fim do vetor, ou seja, onde a seta começa e onde termina.
Dado qualquer vetor bidimensional:
A informação que as coordenadas do vetor nos fornecem, ou seja, vx e vy, é seu comprimento para o eixo xe seu comprimento para o eixo y, respectivamente.
Portanto, se conhecermos as coordenadas, podemos calcular o módulo do vetor.
Módulo de um vetor e o teorema de Pitágoras
O desenho anterior não lembra uma figura geométrica?
Exatamente, podemos imaginar que os eixos coordenados próximos ao vetor formam um retângulo com base vx e altura vy. Podemos dividir este retângulo em dois triângulos simétricos, ou seja, ambos terão a mesma base e altura.
O triângulo sombreado em azul tem uma base de vx e uma altura de vy. Assim, conhecendo essa informação, podemos conhecer sua hipotenusa. Existe um teorema muito famoso conhecido como teorema de Pitágoras que é usado para esses cálculos.
Demonstração
Sabemos que a fórmula pitagórica é a seguinte:
Onde h é a hipotenusa, c é uma perna ec é outra perna.
No nosso caso, sabemos quanto valem nossas pernas, ou seja, a base e a altura. Portanto, podemos inserir essas informações na equação:
Prosseguimos para remover o quadrado de h aplicando a raiz quadrada:
Se dissermos que vx = 3 e vy = 6:
Portanto, se v fosse um vetor com coordenadas (3,6), saberíamos que seu módulo é 6,7082. Exatamente, seu módulo, porque a fórmula para o módulo de qualquer vetor v é:
Vemos que precisamente a informação que falta na equação coincide com a hipotenusa. Em outras palavras, o comprimento do vetor é o que queremos calcular e a hipotenusa é a diagonal do triângulo. Portanto, podemos concluir que o uso do teorema de Pitágoras para calcular o módulo do vetor é um método válido.
Portanto, se precisarmos calcular o módulo de um vetor e não nos lembrarmos da fórmula, podemos pensar no teorema de Pitágoras e resolver o problema.
Exercício resolvido
Calcule o módulo do vetor v com as coordenadas (-3, -6) aplicando o teorema de Pitágoras.
O módulo do vetor v com as coordenadas (-3,6) calculado a partir da fórmula do teorema de Pitágoras também é 6,7082.