O paradoxo de São Petersburgo é um paradoxo observado por Nicolaus Bernoulli e que tem sua razão de ser no jogo. Este paradoxo diz-nos que, na teoria da decisão, todas as apostas são admitidas, independentemente do seu valor, ainda que tal valor nos indique que não se trata de uma decisão racional.
O paradoxo de São Petersburgo, para que o entendamos corretamente, foi um paradoxo descrito por Nicolaus Bernoulli, após observar o jogo, razão pela qual esse paradoxo existe.
Teoria dos jogosNesse sentido, o paradoxo nos diz que a teoria das decisões formuladas nos mostra que a decisão racional, em um jogo de apostas, é tudo, independente do valor que cada aposta supõe. Porém, analisando corretamente essa situação, e atendendo à teoria com precisão, observamos que nenhum ser racional escolheria tomar a decisão de apostar uma quantia em dinheiro próxima ao infinito, embora a teoria indique que é racional. Por isso, surge o paradoxo.
Inicialmente, o paradoxo é observado por Nicolaus Bernoulli, conforme aparece em uma carta por ele enviada a Pierre de Montmort, um aristocrata e matemático francês, em 9 de setembro de 1713.
No entanto, como o estudo de Nicolaus não obteve resultados, ele apresentou o paradoxo a seu primo Daniel Bernoulli em 1715, um matemático de origem holandesa e reitor da Universidade de Basel, que, reunindo-se em São Petersburgo com um grupo proeminente de cientistas, e depois anos de pesquisa, publicou em 1738 um novo sistema de medição em sua obra “Exposição de uma nova teoria em medição de risco”.
O modelo proposto por Daniel, ao contrário do proposto por Nicolaus, lança as bases para o que mais tarde refinaria e completaria a teoria da utilidade esperada.
Fórmula do paradoxo de São Petersburgo
A formulação proposta por Nicolaus Bernoulli ao seu primo e Pierre de Montmort é a seguinte:
Imaginemos um jogo de azar, no qual o jogador, obviamente, deve pagar uma quantia para participar.
Suponha que o jogador aposta na coroa e joga a moeda sucessivamente até a coroa. Depois da coroa, o jogo é interrompido e o jogador recebe $ 2 n.
Assim, se sair coroa, o jogador primeiro ganha 2 1, que é $ 2. Mas se cair novamente, obterá 2 2, que é $ 4, e assim por diante. Se sair novamente, serão 8 dólares, o que equivale a 2 3; enquanto, se sair pela quarta vez, o prêmio será de 16 dólares, sendo a representação 2 4.
Assim, a pergunta de Nicolaus era a seguinte: Levando em consideração a sequência citada acima e o lucro, quanto o jogador estaria disposto a pagar por este jogo sem perder a racionalidade?
Exemplo do paradoxo de São Petersburgo
Considerando a formulação proposta por Nicolaus, e a dúvida que colocou ao matemático francês e seu primo, vejamos o porquê desse paradoxo, a título de exemplo, para entender o que queremos dizer.
Em primeiro lugar, devemos saber que, antes de o jogo começar, temos um número infinito de resultados possíveis. Bem, mesmo que a probabilidade seja 1/2, as caudas podem não sair até o 8º lançamento.
Portanto, a probabilidade de que esta cruz apareça no lançamento k é:
Pk = 1 / 2k
Além disso, o lucro é de 2k.
Continuando com o desenvolvimento, as primeiras caudas no primeiro lançamento apresentam um ganho de 21 ($ 2) e uma probabilidade de 1/2. As caudas na 2ª tentativa têm um ganho de 22 (4 dólares) e uma probabilidade de 1/22; enquanto que, se sair coroa na terceira tentativa, o jogador tem uma vitória de 23 ($ 8) e uma probabilidade de 1/23. Como podemos ver, um relacionamento que se estende, contanto que adicionemos execuções.
Antes de continuar, deve-se notar que na teoria da decisão chamamos de expectativa matemática (EM), ou vitória esperada de um jogo, a soma dos prêmios, associada a cada um dos resultados possíveis do jogo, e todos eles ponderados pelo probabilidade de que cada um desses resultados ocorrerá.
Se levarmos em conta a abordagem que mostra este paradoxo, vemos que ao jogar a probabilidade de ganhar 2 dólares é 1/2, mas, além disso, a probabilidade de ganhar 4 é 1/4, enquanto a de ganhar 8 dólares é 1/8. Isso, até chegar a situações como ganhar 64 dólares, a probabilidade para esse caso é de 1/64.
Assim, com esses resultados, se calcularmos a expectativa matemática, ou o que conhecemos como a vitória esperada do jogo, devemos somar os ganhos de todos os resultados possíveis ponderados pela probabilidade de sua ocorrência, de forma que o resultado nos mostre um infinito valor.
Se seguirmos a teoria da escolha, ela nos diz que devemos apostar qualquer quantia pelo simples fato de que toda decisão nos é favorável. Agora, o fato de ser um paradoxo é porque, racionalmente, um jogador não vai apostar indefinidamente, mesmo que a teoria o force a fazê-lo.
Um paradoxo proeminente
Muitos foram os matemáticos que tentaram decifrar o paradoxo proposto por Bernoulli, porém, também há muitos que não conseguiram resolvê-lo.
Assim, são numerosos os exemplos que nos mostram como o paradoxo tentou ser resolvido por matemáticos que abordaram tanto a estrutura do jogo quanto as decisões dos próprios indivíduos. No entanto, até o momento, ainda não conseguimos encontrar uma solução válida.
E é que, para se ter uma ideia da complexidade deste paradoxo, tendo em conta a teoria da escolha neste exemplo, assumimos como prémio possível, após o cálculo, um número infinito de moedas que, mesmo supondo que fosse possível, seria incompatível com o próprio sistema monetário, pois é uma moeda que, ao contrário do que diz o paradoxo, é limitada.
