Vetores linearmente dependentes

Dois vetores linearmente dependentes são dois vetores que não podem se combinar linearmente e, portanto, não podem formar uma base no plano.

Em outras palavras, dois vetores são linearmente dependentes quando não podemos escrevê-los como uma combinação linear e, portanto, eles não serão capazes de formar uma base. A combinação linear de vetores está criando uma equação na qual dois vetores e dois números reais aparecem.

Fórmula

Dados os seguintes vetores e quaisquer números reais:

Você pode criar uma combinação linear de ambos inserindo dois números reais. Onde lambda Y mu são números reais que indicam o peso de cada vetor.

Portanto, a combinação linear seria:

Esta combinação linear pode ser expressa como outro vetor, por exemplo, C:

Então, com a expressão anterior, estamos dizendo que o vetor C é uma combinação linear de vetores para Y v.

Quando encontramos combinações lineares de vetores e nenhum número aparece na frente dos vetores, ou seja, os parâmetros lambda Y mu, isso significa que eles são 1.

Portanto, se dois vetores são linearmente dependentes, isso significa que não podemos expressá-los como uma combinação linear de si mesmos:

Em geometria analítica, também é chamado de dois vetores proporcionais.

Representação

Qual é a aparência de dois vetores linearmente dependentes?

Primeiro, representamos os vetores separadamente e, segundo, representamos os vetores no mesmo plano:

Exemplo paralelepípedo

Assumimos que temos três vetores e queremos expressá-los como uma combinação linear. Também sabemos que cada vetor vem do mesmo vértice e constitui a abscissa desse vértice. A figura geométrica é um paralelepípedo.

Por nos informarem que a figura geométrica formada por esses vetores são abcissas de um paralelepípedo, então, os vetores delimitam as faces da figura:

Três vetores:

Como podemos saber se os vetores são linearmente dependentes se eles não nos fornecem informações sobre suas coordenadas?

Bem, usando lógica. Se os vetores fossem linearmente dependentes, todas as faces do paralelepípedo entrariam em colapso. Em outras palavras, eles seriam os mesmos.

Portanto, os vetores anteriores não seriam linearmente dependentes porque não poderiam formar um paralelepípedo.