O modelo ARMA é um modelo autorregressivo estacionário onde as variáveis independentes seguem tendências estocásticas e o termo de erro é estacionário.
Em outras palavras, o modelo ARMA incorpora a autocorrelação e o modelo de média móvel em sua regressão.
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Significado de ARMA
O modelo ARMA, do inglês, Média Móvel AutoRegressiva é dividido em duas partes:
- Autoregressivo: A variável dependente retorna a si mesma em um período de tempot.
- Média móvel: Os reveses são representados por processos aleatórios.
Modelo AR
Matematicamente
1. Partimos do modelo autoregressivo AR (p):
Onde:
Em outras palavras, o termo de erro segue um processo estocástico (variável aleatória).
2. Estabelecemos a seguinte igualdade:
4. Substituímos a igualdade anterior em AR (p) e obtemos:
4. Definimos um novo polinômio que depende de R:
Então,
Se multiplicarmos o novo polinômio por Xt e passarmos todos os parâmetros e regressores à esquerda do igual, obteremos o AR (p) inicial.
Do modelo autoregressivo, ficamos com a última equação:
Esta é a contribuição do modelo autorregressivo para o modelo ARMA.
Modelo de média móvel
Um modelo de média móvel é uma autorregressão onde os regressores são os termos de erro de cada períodot.
Matematicamente
1. Partimos do modelo autoregressivo AR (p) onde os regressores são o termo de erro:
Como o modelo autoregressivo, o termo de erro segue um processo estocástico (variável aleatória) tal que:
O modelo de média móvel é sempre estacionário, ou seja, as variáveis independentes (termos de erro defasados) são variáveis aleatórias. Em outras palavras, os termos de erro do período anterior são independentes dos termos de erro atuais e têm a mesma distribuição de probabilidade (idêntica) com média 0 e variância condicional.
2. Estabelecemos a seguinte igualdade:
3. Substituímos a igualdade anterior no AR (p) do termo de erro e obtemos:
4. Definimos um novo polinômio que depende de E:
Tomamos um fator comum:
Do modelo de média móvel, ficamos com a equação do ponto 4:
O modelo ARMA (p, q)
Matematicamente
O modelo de série temporal autoregressiva geral com média móvel dep termos auto-regressivos eo que Os termos de média móvel são expressos como:
Não entrar em pânico! Podemos simplificar alguma coisa?
Você sempre pode simplificar as coisas. Lembramos as equações que destacamos antes:
Modelo autorregressivo
Modelo de média móvel
Assim, podemos ver que o modelo ARMA é simplesmente a combinação do modelo autoregressivo e do modelo de média móvel (marcado em amarelo).