Modelo ARMA - O que é, definição e conceito

O modelo ARMA é um modelo autorregressivo estacionário onde as variáveis ​​independentes seguem tendências estocásticas e o termo de erro é estacionário.

Em outras palavras, o modelo ARMA incorpora a autocorrelação e o modelo de média móvel em sua regressão.

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Significado de ARMA

O modelo ARMA, do inglês, Média Móvel AutoRegressiva é dividido em duas partes:

• Autoregressivo: A variável dependente retorna a si mesma em um período de tempot.
• Média móvel: Os reveses são representados por processos aleatórios.

Modelo AR

Matematicamente

1. Partimos do modelo autoregressivo AR (p):

Onde:

Em outras palavras, o termo de erro segue um processo estocástico (variável aleatória).

2. Estabelecemos a seguinte igualdade:

4. Substituímos a igualdade anterior em AR (p) e obtemos:

4. Definimos um novo polinômio que depende de R:

Então,

Se multiplicarmos o novo polinômio por X_t e passarmos todos os parâmetros e regressores à esquerda do igual, obteremos o AR (p) inicial.

Do modelo autoregressivo, ficamos com a última equação:

Esta é a contribuição do modelo autorregressivo para o modelo ARMA.

Modelo de média móvel

Um modelo de média móvel é uma autorregressão onde os regressores são os termos de erro de cada períodot.

Matematicamente

1. Partimos do modelo autoregressivo AR (p) onde os regressores são o termo de erro:

Como o modelo autoregressivo, o termo de erro segue um processo estocástico (variável aleatória) tal que:

O modelo de média móvel é sempre estacionário, ou seja, as variáveis ​​independentes (termos de erro defasados) são variáveis ​​aleatórias. Em outras palavras, os termos de erro do período anterior são independentes dos termos de erro atuais e têm a mesma distribuição de probabilidade (idêntica) com média 0 e variância condicional.

2. Estabelecemos a seguinte igualdade:

3. Substituímos a igualdade anterior no AR (p) do termo de erro e obtemos:

4. Definimos um novo polinômio que depende de E:

Tomamos um fator comum:

Do modelo de média móvel, ficamos com a equação do ponto 4:

O modelo ARMA (p, q)

Matematicamente

O modelo de série temporal autoregressiva geral com média móvel dep termos auto-regressivos eo que Os termos de média móvel são expressos como:

Não entrar em pânico! Podemos simplificar alguma coisa?

Você sempre pode simplificar as coisas. Lembramos as equações que destacamos antes:

Modelo autorregressivo

Modelo de média móvel

Assim, podemos ver que o modelo ARMA é simplesmente a combinação do modelo autoregressivo e do modelo de média móvel (marcado em amarelo).