O polinômio de Taylor é uma aproximação polinomial de uma funçãon tempos deriváveis em um ponto específico.
Em outras palavras, o polinômio de Taylor é uma soma finita de derivadas locais avaliadas em um ponto específico.
Matematicamente
Nós definimos:
f (x): função de x.
f (x0): função dexem um ponto específico x0. Formalmente está escrito:
F(n)(x):n-ésima derivada da função f (x).
Formulários
A expansão de Taylor é geralmente aplicada a ativos e produtos financeiros cujo preço é expresso como uma função não linear. Por exemplo, o preço de um título de dívida de curto prazo é uma função não linear que depende das taxas de juros. Outro exemplo seriam as opções, em que tanto os fatores de risco quanto a lucratividade são funções não lineares. O cálculo da duração de uma ligação é um polinômio de Taylor de primeiro grau.
Exemplo de polinômio de Taylor
Queremos encontrar a segunda ordem da aproximação de Taylor da função f (x) em um ponto x0=1.
1. Fazemos as derivadas relevantes da função f (x).
Nesse caso, eles nos pedem até a segunda ordem, então faremos a primeira e a segunda derivadas da função f (x):
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
2. Substituímos x0= 1 em f (x), f '(x) e f' '(x):
3. Uma vez que temos o valor das derivadas no ponto x0= 1, nós o substituímos na aproximação de Taylor:
Corrigimos um pouco o polinômio:
Verificando valores
A aproximação de Taylor será adequada quanto mais próximo de x0 sejam os valores. Para verificar isso, substituímos valores próximos de x0 tanto na função original quanto na aproximação de Taylor acima:
Quando x0=1
Função original:
Aproximação de Taylor:
Quando x0=1,05
Função original:
Aproximação de Taylor:
Quando x0=1,10
Função original:
Aproximação de Taylor:
No primeiro caso, quando x0= 1, vemos que tanto a função original quanto a aproximação de Taylor nos dão o mesmo resultado. Isso se deve à composição do polinômio de Taylor que criamos usando as derivadas locais. Esses derivados foram avaliados em um ponto específico, x0= 1, a fim de obter um valor e criar o polinômio. Portanto, quanto mais longe desse ponto específico, x0= 1, menos apropriada será a aproximação para a função não linear original. Nos casos em que x0= 1,05 e x0= 1,10 há uma diferença significativa entre o resultado da função original e a aproximação de Taylor.
Mas … a diferença é muito pequena, não é?
Representação polinomial de Taylor
Se estendermos os extremos (onde a aproximação se afasta de x0=1):
À primeira vista pode parecer insignificante, mas quando estamos trabalhando no gráfico e fazendo aproximações, é muito importante levar em consideração pelo menos as primeiras quatro casas decimais. A base das aproximações é a precisão.