Polinômio de Taylor - O que é, definição e conceito

O polinômio de Taylor é uma aproximação polinomial de uma funçãon tempos deriváveis ​​em um ponto específico.

Em outras palavras, o polinômio de Taylor é uma soma finita de derivadas locais avaliadas em um ponto específico.

Matematicamente

Nós definimos:

f (x): função de x.

f (x₀): função dexem um ponto específico x₀. Formalmente está escrito:

F⁽ⁿ⁾(x):n-ésima derivada da função f (x).

Formulários

A expansão de Taylor é geralmente aplicada a ativos e produtos financeiros cujo preço é expresso como uma função não linear. Por exemplo, o preço de um título de dívida de curto prazo é uma função não linear que depende das taxas de juros. Outro exemplo seriam as opções, em que tanto os fatores de risco quanto a lucratividade são funções não lineares. O cálculo da duração de uma ligação é um polinômio de Taylor de primeiro grau.

Exemplo de polinômio de Taylor

Queremos encontrar a segunda ordem da aproximação de Taylor da função f (x) em um ponto x₀=1.

1. Fazemos as derivadas relevantes da função f (x).

Nesse caso, eles nos pedem até a segunda ordem, então faremos a primeira e a segunda derivadas da função f (x):

• Primeira derivada:

• Segunda derivada:

2. Substituímos x₀= 1 em f (x), f '(x) e f' '(x):

3. Uma vez que temos o valor das derivadas no ponto x₀= 1, nós o substituímos na aproximação de Taylor:

Corrigimos um pouco o polinômio:

Verificando valores

A aproximação de Taylor será adequada quanto mais próximo de x₀ sejam os valores. Para verificar isso, substituímos valores próximos de x₀ tanto na função original quanto na aproximação de Taylor acima:

Quando x₀=1

Função original:

Aproximação de Taylor:

Quando x₀=1,05

Função original:

Aproximação de Taylor:

Quando x₀=1,10

Função original:

Aproximação de Taylor:

No primeiro caso, quando x₀= 1, vemos que tanto a função original quanto a aproximação de Taylor nos dão o mesmo resultado. Isso se deve à composição do polinômio de Taylor que criamos usando as derivadas locais. Esses derivados foram avaliados em um ponto específico, x₀= 1, a fim de obter um valor e criar o polinômio. Portanto, quanto mais longe desse ponto específico, x₀= 1, menos apropriada será a aproximação para a função não linear original. Nos casos em que x₀= 1,05 e x₀= 1,10 há uma diferença significativa entre o resultado da função original e a aproximação de Taylor.

Mas … a diferença é muito pequena, não é?

Representação polinomial de Taylor

Se estendermos os extremos (onde a aproximação se afasta de x₀=1):

À primeira vista pode parecer insignificante, mas quando estamos trabalhando no gráfico e fazendo aproximações, é muito importante levar em consideração pelo menos as primeiras quatro casas decimais. A base das aproximações é a precisão.