O quadrado é uma figura geométrica caracterizada por ser uma espécie de paralelogramo com quatro lados de igual comprimento e paralelos entre si.
Um quadrado é então um polígono regular. Isso significa que todos os seus lados são idênticos, e também todos os ângulos internos medem o mesmo (neste caso, 90º).
Como já mencionamos, o quadrado é uma categoria de paralelogramo que, por sua vez, é uma espécie de quadrilátero onde os lados opostos são paralelos (não se cruzam, embora sejam prolongados). No entanto, um paralelogramo não tem necessariamente todos os seus lados iguais, como é o caso do retângulo, onde apenas os lados opostos têm o mesmo comprimento.
Outro caso de paralelogramo é o losango, onde todos os lados têm o mesmo comprimento, mas apenas um par de ângulos são congruentes (eles medem o mesmo).
Elementos quadrados
Os elementos do quadrado, como podemos observar no gráfico abaixo, são os seguintes:
- Vértices: A, B, C, D.
- Lados: AB, BC, DC, AD.
- Diagonais: AC, DB.
- Ângulos internos: Eles são iguais e medem 90º.
- Centro ou centróide (o): É o ponto onde as diagonais se cruzam.
Perímetro, diagonal e área do quadrado
As fórmulas para conhecer as características do quadrado são as seguintes:
- Perímetro (P): Se a é o comprimento do lado do quadrado (como visto no gráfico acima), o perímetro seria: P = 4 * a
- Diagonal: Devemos lembrar que as diagonais dividem o quadrado em dois triângulos iguais que são triângulos retângulos isósceles. Ou seja, são formados por um ângulo reto de 90º e dois ângulos menores que 90º. O ângulo reto é constituído pela união de dois lados chamados pernas. Enquanto isso, o lado do triângulo oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Assim, se tomarmos como referência a figura abaixo, o triângulo formado pelos vértices A, B e D (a área sombreada), a hipotenusa seria o lado DB, enquanto as pernas são AB e AD.
O teorema de Pitágoras nos diz que se colocarmos as pernas em quadratura e adicioná-las, obteremos a hipotenusa ao quadrado, como vemos na seguinte fórmula (onde d é o comprimento da diagonal e para é o comprimento do lado do quadrado):
- Área (A): A área é calculada multiplicando-se a base pela altura, que no caso do quadrado medem a mesma e são iguais ao comprimento do lado (a):
Para encontrar a área em função do comprimento da diagonal, conectamos para para d, levando em consideração que:
Portanto, a área seria:
Exemplo quadrado
Suponha que temos um quadrado com um lado de 16 metros. Podemos então encontrar o perímetro (P), a diagonal (d) e a área (A).
Propriedades relativas à circunferência inscrita ou circunscrita
Deve-se notar que a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência a ele circunscrita (que no gráfico inferior está desenhada em azul claro).
Da mesma forma, o lado do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência inscrita nele (que no gráfico abaixo está desenhado em fúcsia).
Vale lembrar que o diâmetro é a linha que passa pelo centro de um círculo e une dois pontos opostos dessa figura.
