Decomposição de Cholesky - O que é, definição e conceito

A decomposição de Cholesky é um tipo especial de decomposição de matriz LU, do inglês Lower-Upper, que consiste em fatorar uma matriz no produto de duas ou mais matrizes.

Em outras palavras, a decomposição de Cholesky consiste em igualar uma matriz contendo o mesmo número de linhas e colunas (matriz quadrada) a uma matriz com zeros acima da diagonal principal multiplicada por sua matriz transposta com zeros abaixo da diagonal principal.

A decomposição LU, ao contrário de Cholesky, pode ser aplicada a vários tipos de matrizes quadradas.

Características de decomposição de Cholesky

A decomposição de Cholesky consiste em:

• Uma matriz quadrada triangular superior: Matriz quadrada que possui apenas zeros abaixo da diagonal principal.

• Uma matriz quadrada triangular inferior: Uma matriz que possui apenas zeros acima da diagonal principal.

Matematicamente, se existe uma matriz simétrica definida positiva, E, então existe uma matriz simétrica triangular inferior, K, da mesma dimensão que E, resultando em:

A matriz acima aparece como a matriz de Cholesky de E. Esta matriz atua como a raiz quadrada da matriz E. Sabemos que o domínio da raiz quadrada é:

(X ∈ ℜ: x ≥ 0)

Que é definido em todos os números reais não negativos. Da mesma forma que a raiz quadrada, a matriz de Cholesky só existirá se a matriz for definida semopositiva. Uma matriz é semi-positiva definida quando os menores maiores têm um determinante positivo ou zero.

A decomposição de Cholesky de E é uma matriz diagonal tal que:

Podemos ver que as matrizes são quadradas e contêm as características mencionadas; triângulo de zeros acima da diagonal principal na primeira matriz e triângulo de zeros abaixo da diagonal principal na matriz transformada.

Aplicativos de decomposição de Cholesky

Em finanças, é usado para transformar as realizações de variáveis ​​normais independentes em variáveis ​​normais correlacionadas de acordo com uma matriz de correlação E.

Se N é um vetor de normais independentes (0,1), segue-se que Ñ é um vetor de normais (0,1) correlacionado de acordo com E.

Exemplo de decomposição de Cholesky

Este é o exemplo mais simples que podemos encontrar da decomposição de Cholesky, uma vez que as matrizes têm que ser quadradas, neste caso, a matriz é (2 × 2). Duas linhas por duas colunas. Além disso, atende às características de ter zeros acima e abaixo da diagonal principal. Essa matriz é definida semipopositiva porque os menores maiores têm um determinante positivo. Nós definimos:

Resolvendo para: c² = 4; b · c = -2; para²+ b² = 5; temos quatro matrizes de Cholesky possíveis:

Finalmente calculamos para encontrar (a, b, c). Assim que os encontrarmos, teremos as matrizes de Cholesky. O cálculo é o seguinte: