Desigualdade de Chebyshev - O que é, definição e conceito

A desigualdade de Chebyshev é um teorema usado em estatística que fornece uma estimativa conservadora (intervalo de confiança) da probabilidade de que uma variável aleatória com variância finita estará a uma certa distância de sua expectativa matemática ou de sua média.

Sua expressão formal é a seguinte:

X = valor estimado

µ = Expectativa matemática do valor estimado

Ϭ = desvio padrão do valor esperado

k = Número de desvios padrão

Partindo dessa expressão geral e desenvolvendo a parte que fica dentro do valor absoluto teríamos o seguinte:

Se prestarmos atenção à expressão anterior, pode-se ver que a parte à esquerda não é mais do que um intervalo de confiança. Isso nos oferece um limite inferior e superior para o valor estimado. Portanto, a desigualdade de Chebyshev nos diz a probabilidade mínima de que o parâmetro da população esteja dentro de um certo número de desvios-padrão acima ou abaixo de sua média. Ou, dito de outra forma, nos dá a probabilidade de que o parâmetro da população esteja dentro desse intervalo de confiança.

A desigualdade de Chebyshev fornece limites aproximados para o valor estimado. Apesar de ter um certo grau de imprecisão, é um teorema muito útil, pois pode ser aplicado a uma ampla gama de variáveis ​​aleatórias, independentemente de suas distribuições. A única restrição para poder usar esta desigualdade é que k tem que ser maior que 1 (k> 1).

Exemplo de aplicação da desigualdade de Chebyshev

Suponha que sejamos administradores de um fundo de investimento. A carteira que estamos administrando tem um retorno médio de 8,14% e um desvio padrão de 5,12%. Para saber, por exemplo, qual porcentagem de nossos retornos são pelo menos 3 desvios-padrão de nossa lucratividade média, simplesmente aplicaríamos a fórmula anterior da expressão 2.

k = 1,96

Substituindo o valor de k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%

Isso significa que 73,9% dos resultados estão no intervalo de confiança localizado a 1,96 desvios padrão da média.

Vamos fazer o exemplo anterior para valores diferentes de k.

k = 2,46
k = 3

Substituindo o valor de k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%

Substituindo o valor de k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%

Existem 83,5% dos dados que estão a uma distância de 2,46 desvios-padrão da média e 88,9% que estão dentro de 3 desvios-padrão da média.

Usando a desigualdade de Chebyshev, é fácil deduzir que quanto maior o valor de K (quanto maior o desvio do valor estimado de sua média), maior a probabilidade de que a variável aleatória esteja dentro do intervalo limitado.