Conjuntos finitos são aqueles cuja cardinalidade, ou número de elementos nela, é igual a um número natural.
Em outras palavras, um conjunto finito é aquele que possui uma série de elementos que podem ser contados. Sendo o oposto de um conjunto infinito, onde os elementos são incontáveis.
Uma maneira mais formal de expressar que um conjunto é finito é que os elementos desse conjunto, que chamaremos de M, podem ser emparelhados com os elementos do conjunto (1, 2, …, n), que chamaremos de N. Esta é uma sequência de inteiros onde cada elemento é igual ao anterior, mais a unidade.
Assim, os elementos de M e N podem ser emparelhados um a um (o que é conhecido como correspondência um a um), sem deixar de fora nenhum elemento dos dois conjuntos.
Também se diz que M e N são equipotentes, ou seja, para cada elemento de M existe um elemento de N.
Além disso, o número n (o maior elemento do conjunto N) coincide com o número de elementos de M, onde n é o cardinal, a cardinalidade ou a potência de N, e sua notação é card (N), | N | ou #N.
Exemplos de conjuntos finitos
Alguns exemplos de conjuntos finitos seriam os seguintes:
- Inteiros ímpares maiores que 13 e menores que 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Os oceanos da Terra: Atlântico, Pacífico, Índico, Ártico, Antártico
- A lista dos vinte alunos que pertencem a uma sala de aula.
Propriedades de conjuntos finitos
Entre as principais propriedades dos conjuntos finitos, estão aquelas que são expostas a seguir:
- A união de dois ou mais conjuntos finitos resulta em um conjunto finito.
- A interseção (os elementos em comum) de um conjunto finito com um ou mais conjuntos é finita.
- O subconjunto de um conjunto finito também é finito.
- O subconjunto C de um conjunto finito M é caracterizado por ter um número menor de elementos que M. Ou seja, é verdade que: Se C ⊊ M e | M | = n, então | C | <n (O símbolo ⊊ significa que C é um subconjunto próprio de M. Ou seja, todos os elementos de C estão contidos em M, mas há pelo menos um elemento de M que não está em C).
- O conjunto de potência de um conjunto finito M, que inclui todos os subconjuntos que podem ser formados com os elementos do conjunto M (incluindo o conjunto vazio ou ∅), é finito e possui 2n elementos, onde n é o número de elementos em M. Por exemplo, se tivermos:
(1, 3, 41)
O conjunto de potência seria: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Como podemos ver, o conjunto de potência de um conjunto finito de três elementos possui oito (23) elementos.