Uma matriz anti-simétrica é uma matriz quadrada onde os elementos fora da diagonal principal são simetricamente iguais, mas aqueles abaixo da diagonal principal carregam um sinal negativo.
Em outras palavras, uma matriz anti-simétrica é uma matriz que possui o mesmo número de linhas (n) e colunas (m) e os elementos em ambos os lados da diagonal principal são complementares.
Como os elementos acima e abaixo da diagonal principal são deslocados, os elementos da diagonal principal são zeros.
Artigo recomendado: matriz não simétrica e matriz simétrica.
Características da matriz anti-simétrica
As características de uma matriz anti-simétrica são:
- Matriz quadrada.
- Matriz simétrica + sinal negativo (-) nos elementos abaixo da diagonal principal.
- Os elementos da diagonal principal são zeros (0).
Matriz anti-simétrica
Dada uma matriz quadrada ÁS,
Podemos ver como os mesmos elementos aparecem em ambos os lados da diagonal principal, mas com a particularidade de que os elementos abaixo da diagonal principal possuem um sinal negativo na frente. Além disso, a diagonal principal é composta por zeros.
A matriz anti-simétrica e os espelhos
Da mesma forma que a matriz simétrica, a matriz antissimétrica também pode ser compreendida através do exemplo do espelho.
Se nos olharmos no espelho e levantarmos o braço direito, veremos que a pessoa no espelho levanta o braço esquerdo. Ou seja, o movimento do espelho complementa o nosso e, portanto, a soma de ambos resultaria em zero.
Podemos expressar a ideia acima da seguinte forma e deduzir:
(Levantar a mão direito) - (Levantar a mão deixou) = 0
(Levantar a mão direito) = (Levantar a mão deixou)
A diagonal principal atua como um espelho e vemos elementos opostos em ambos os lados da diagonal principal. A função neutra (=) mapeia para a diagonal principal.
Propriedade
- A matriz transposta de uma matriz anti-simétrica é igual à matriz anti-simétrica multiplicada por (-1).
Em outras palavras, seria como adicionar um sinal negativo na frente da matriz anti-simétrica.
Matematicamente,
Podemos ver que com os dois procedimentos chegamos ao mesmo resultado: transpor a matriz ou multiplicar por (-1) a matriz antissimétrica.
Matriz não simétrica vs matriz anti-simétrica vs matriz simétrica
O exemplo do espelho no caso da matriz simétrica é suficiente para que reflita o mesmo movimento, ou seja, se levantarmos um braço, podemos ver um braço levantado, mas não é necessário especificar o que é. No caso da matriz anti-simétrica, precisamos verificar qual braço vemos no espelho e determinar se é uma matriz anti-simétrica.
Se levantarmos um braço e no espelho vemos que …
- O mesmo braço é levantado, do ponto de vista da pessoa no espelho, então é uma matriz simétrica.
- O braço oposto é levantado, do ponto de vista da pessoa no espelho, então é uma matriz anti-simétrica.
- Se nenhum braço é levantado ou mais de um é levantado, do ponto de vista da pessoa no espelho, então é uma matriz não simétrica.