A geometria fractal é o ramo da geometria que estuda os fractais. São objetos complexos, com uma estrutura que se repete quando os observamos em diferentes escalas.
Em outras palavras, os fractais são formados por partes semelhantes ao todo e são estruturas irregulares. Vamos pensar em uma cabeça de brócolis, que quando dividida é dividida em vários brócolis menores.
A geometria fractal nasceu da necessidade de uma melhor aproximação com a realidade, já que a geometria plana e a geometria espacial estudam figuras e corpos que, dificilmente, encontramos na natureza.
Considere que as montanhas não são cones e que mesmo as pirâmides do Egito, se olharmos de perto, terão certas irregularidades em suas superfícies. Essas imperfeições são chamadas com a qualidade da rugosidade, e é uma característica que agrega geometria fractal aos objetos, que não têm mais apenas perímetro, área e volume.
Origem da geometria fractal
A origem da geometria fractal é iniciada pelo matemático Benoit Mandelbrot, assim como sua maior obra literária: "Fractal Geometry of Nature", publicada em 1982.
A palavra fractal vem da palavra latina "fractus", que significa quebrado ou fraturado, e foi cunhada por Mandelbrot em 1975.
Vale ressaltar que, embora Mandelbrot tenha formalizado o estudo da economia fractal, ele não foi o primeiro a notar a existência de fractais na natureza. Por exemplo, se olharmos para a obra do conhecido pintor japonês Katsushika Hokusai, veremos esse conceito aplicado (e o próprio Mandelbrot o mencionou em uma entrevista). Por exemplo, na pintura "A Grande Onda", observamos como dentro da onda existem outras ondas menores.
Características de um fractal
As principais características de um fractal são as seguintes:
- Auto-similaridade: Refere-se ao que já mencionamos antes. Se olharmos para uma parte do fractal em uma escala maior (mais de perto), ela se parecerá com o objeto inteiro. Ou seja, a parte é semelhante ao todo, embora isso nem sempre seja exatamente verdade. Por exemplo, vamos imaginar um losango composto de muitos pequenos losangos. Embora o tamanho desses losangos varie um pouco, seria um fractal.
- A dimensão fractal não é igual à dimensão topológica: Para explicar a dimensão topológica, vamos imaginar que temos um plano dividido em grades, como uma malha. Então, eu desenho uma linha que passa por 2 grades. Se eu dividisse todas as grades de malha em duas, a linha passaria por 4 grades. Ou seja, é multiplicado por 2, que é igual ao fator de redução (2) elevado a 1 (2 = 21), que, compensando a redundância, é o número de dimensões da linha. Agora, se temos um polígono, uma figura bidimensional, algo semelhante acontece. Por exemplo, se tivermos um quadrado que se estende por quatro grades e aplicarmos um fator de redução de 2 novamente, o quadrado se estenderá por 16 grades. Ou seja, o número de grades (4) é multiplicado por 4, que é 2 elevado a 2 (2 = 22), sendo o expoente o número de dimensões ao quadrado. No entanto, todos os itens acima não são verdadeiros nos fractais.
- Eles não são distinguíveis em nenhum ponto: Isso significa, em termos matemáticos, que a derivada da função representada não pode ser calculada. Em termos visuais, significa que o gráfico não é contínuo, mas possui picos, não sendo possível fazer a derivação.
Aplicação da geometria fractal
A geometria fractal pode ser aplicada em vários campos. Por exemplo, em 1940, Lewis Fry Richardson observou que várias fronteiras entre um país e outro mudavam dependendo da escala de medição. Ou seja, se medirmos um contorno geográfico, o resultado será diferente dependendo do comprimento da régua que é usada. Isso serviu de referência para Mandelbrot em seu artigo de 1967, publicado na revista Science: "How long is the coast of Great Britain?"
Isso pode ser explicado, se levarmos em conta que os territórios geográficos são fractais e, à medida que os vemos em maior escala, vemos mais irregularidades.
Outra aplicação da geometria fractal é a análise de movimentos sísmicos e movimentos no mercado de ações.
Além disso, devemos reconhecer que os fractais serviram de inspiração para artistas como o já citado Hokusa, e também temos o caso de Jackson Pollock.