O produto escalar de dois vetores em coordenadas é a soma do produto das coordenadas de cada vetor preservando a ordem das dimensões.
Em outras palavras, o produto escalar nas coordenadas de dois vetores é o resultado da multiplicação das coordenadas da mesma dimensão dos vetores e sua adição.
É chamado de produto escalar porque o resultado da multiplicação sempre será um escalar. O resultado dessa multiplicação será um número que expressa uma magnitude e não tem direção. Em outras palavras, o resultado do produto escalar será um número, não um vetor. Portanto, expressaremos o número resultante como qualquer número e não como um vetor.
Para expressar o produto de vetores em coordenadas, o sistema de referência canônico é usado.
Neste artigo, veremos, no final das contas, duas maneiras de calcular o produto escalar de dois vetores. O primeiro foi descrito acima, enquanto o segundo veremos mais tarde.
Fórmula do produto de dois vetores
Dados dois vetores:
O produto escalar é calculado da seguinte forma:
O produto escalar de dois vetores é obtido pela multiplicação das coordenadas dos vetores, sempre mantendo as dimensões. Em outras palavras, você só pode multiplicar as coordenadas da mesma dimensão.
No primeiro exemplo, está tudo bem porque estamos multiplicando a primeira coordenada do vetor a pelo vetor b. O segundo exemplo está errado porque estamos multiplicando a primeira coordenada do vetor a pela segunda coordenada do vetor b. Multiplicar coordenadas de dimensões diferentes não é correto.
Fórmula de produto escalar para vetores k
Dados k vetores com n coordenadas:
O produto escalar é calculado da seguinte forma:
Embora tenhamos muitos vetores com muitas dimensões, o produto escalar funciona da mesma maneira: faça a soma da multiplicação das coordenadas que são da mesma dimensão.
Etapas a seguir para calcular o produto escalar de dois vetores
- Identifique os vetores que queremos multiplicar e suas coordenadas.
- Multiplique as coordenadas da mesma dimensão.
- Adicione as multiplicações anteriores.
- Verifique se o resultado é um único número.
Produto escalar de definição geométrica
O produto escalar de dois vetores também pode ser expresso como o produto dos módulos de ambos os vetores e o cosseno do ângulo dos vetores.
Dados dois vetores, o produto escalar é calculado da seguinte forma:
Para se aprofundar mais nessa outra forma de cálculo, recomendamos que você visite o seguinte artigo:
Veja outra maneira de calcular o produto escalar de dois vetoresExemplo de produto escalar
Calcule o produto escalar dos seguintes vetores:
O resultado de um produto escalar será sempre um escalar, ou seja, um número. O resultado do nosso exemplo corresponde à teoria e, portanto, está correto.