Uma matriz transposta é o resultado da reordenação da matriz original alterando linhas por colunas e colunas por linhas em uma nova matriz.
Em outras palavras, a matriz transposta é a ação de selecionar as linhas da matriz original e reescrevê-las como colunas na nova matriz e reverter o processo para as colunas.
Geralmente, quando mudamos as linhas para colunas e as colunas para linhas, indicamos isso adicionando um T sobrescrito ou um apóstrofo no nome da matriz original. Se adicionarmos o T sobrescrito, devemos ter em mente que estamos trabalhando com matrizes e que o sobrescrito não é um expoente.
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Fórmula de uma matriz transposta nxm
Dada uma matriz Z qualquer um com n linhas em colunas, podemos construir a matriz transposta, ZT, que terá m linhas e n colunas.
Transposição de uma matriz quadrada
Dependendo da tipologia da matriz, a ordem da matriz também mudará quando fizermos sua transposição.
Propriedades
Dada a matriz Z anterior,
- A transposta de uma matriz transposta é a matriz original.
- A soma das matrizes transpostas é igual à soma das matrizes transpostas.
- O produto transposto de uma constante h por uma matriz é igual ao produto da constante h pela matriz transposta.
- O produto transposto da multiplicação da matriz é igual ao produto da multiplicação da matriz transposta.
Formulários
As matrizes transpostas estão mais presentes do que pensamos. Na econometria, encontramos transposições quando expressamos as matrizes na forma quadrática. Da mesma forma, a fórmula para o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (OLS) em forma de matriz:
Exemplo teórico
Encontre a matriz de transposição das seguintes matrizes:
