O teorema de Tales é uma lei da geometria que nos diz que se uma linha for desenhada paralelamente a qualquer lado de um triângulo, teremos um triângulo semelhante ao triângulo original.
Em outras palavras, se cortarmos um triângulo traçando uma linha paralela a um de seus lados, obteremos um triângulo semelhante ao anterior.
Neste ponto, deve-se notar que dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são congruentes (eles medem o mesmo) e seus lados homólogos são proporcionais um ao outro.
Para entender melhor, vejamos a seguinte figura:
Pelo teorema de Tales pode-se concluir que α = δ e β = ε
Além disso, como mencionamos anteriormente, os lados são proporcionais, portanto, é verdade que:
Uma anedota contada pelo historiador Plutarco conta que Tales de Mileto, em uma de suas viagens, fez uso desse teorema para saber a altura das pirâmides de Gizé (as de Quéops, Quéfren e Menkaure) no Egito. Assim, decidiu colocar um pedaço de pau na vertical contra o solo, esperando que o comprimento do objeto fosse igual à sombra que ele projetava. Naquela época, a sombra da pirâmide também seria igual à sua altura. Neste caso, os triângulos semelhantes são:
- Aquele cujos dois lados são a vara e sua sombra.
- O triângulo que tem como um de seus lados a altura da pirâmide e, como outro lado, sua sombra.
Para entender melhor, vamos imaginar na figura acima que a pirâmide é aquela formada pelos vértices D, E e F, sua altura é o segmento HE e sua sombra, ou seja. Enquanto isso, a haste é o segmento AB e sua sombra, CB. Portanto, AB / CB = HE / IE. Isto, levando em consideração que os raios solares são paralelos (não se cruzam ou em seu prolongamento), então formarão o mesmo ângulo com a haste que com a pirâmide (os ângulos α e β são iguais).
Exemplo de teorema de Tales
Para entender melhor o teorema de Tales, vejamos a seguinte figura:
Se BC mede 7,3 metros, DE mede 3,6 metros e AB mede 6,2 metros. Qual é o comprimento do AD?
Nós isolamos na fórmula mostrada anteriormente e temos:
7,3 / 3,6 = 6,2 / AD
2.0278 = 6.2 / AD
AD = 3,0575 metros
Extensão do teorema de Tales
O teorema de Tales pode ser estendido para a análise de quaisquer duas linhas que são cortadas por outras linhas paralelas entre si, como vemos na imagem a seguir:
Então, é verdade que:
Isso é verdade porque devemos pensar nessas linhas como parte de um triângulo ou, para ver de outra forma, se estendermos as linhas AB e CD, elas se cruzarão. É melhor vermos na seguinte imagem:
Segundo teorema de Tales
Existe também um segundo teorema de Tales segundo o qual, se tivermos um triângulo formado pelo diâmetro de uma circunferência e duas retas cruzando-o (cortam a figura em dois pontos), aquele ângulo oposto ao diâmetro está correto, isto é ,, mede 90º.
Deve-se lembrar que diâmetro é aquele segmento que, passando pelo centro da circunferência, une dois pontos opostos da dita figura.
Podemos ver melhor o acima na imagem a seguir:
Podemos verificar este teorema levando em consideração que AC, AD e AB medem o mesmo e são iguais ao raio da circunferência (o raio é qualquer segmento que une um ponto na circunferência com o centro da figura e é igual à metade diâmetro). Assim, os triângulos ABC e ABD são isósceles e seus dois lados semelhantes são ângulos opostos que também medem o mesmo, ou seja:
AC = AD = AB = r (raio da circunferência)
γ = β e α = δ
Então, se virmos o triângulo CBD e lembrarmos que os ângulos internos de um triângulo devem somar 180º, temos:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Portanto, o triângulo CBD é um triângulo retângulo.