Uma distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de sucessos ao conduzir n experimentos independentes em uma variável aleatória..
Existe uma grande diversidade de experimentos ou eventos que podem ser caracterizados sob esta distribuição de probabilidade. Imagine um lançamento de moeda em que definimos o evento "que bate cara" como um sucesso. Se jogarmos a moeda 5 vezes e contarmos os acertos (cara) que obtemos, nossa distribuição de probabilidade se ajustaria a uma distribuição binomial.
Portanto, a distribuição binomial é entendida como uma série de testes ou tentativas em que podemos ter apenas 2 resultados (sucesso ou fracasso), sendo o sucesso nossa variável aleatória.
Propriedades da distribuição binomial
Para que uma variável aleatória seja considerada seguindo uma distribuição binomial, ela deve atender às seguintes propriedades:
- Em cada tentativa, experimento ou teste, apenas dois resultados (sucesso ou fracasso) são possíveis.
- A probabilidade de sucesso deve ser constante. Isso é representado pela letra p. A probabilidade de cara de cara é 0,5 e isso é constante, uma vez que a moeda não muda em cada experimento e as probabilidades de cara são constantes.
- A probabilidade de falha também deve ser constante. Isso é representado pela letra q = 1-p. É importante notar que por meio dessa equação, sabendo p ou sabendo q, podemos obter aquele que está faltando.
- O resultado obtido em cada experimento é independente do anterior. Portanto, o que acontece em cada experiência não afeta as seguintes.
- Os eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, eles não podem ocorrer ao mesmo tempo. Não é possível ser homem e mulher ao mesmo tempo ou que ao jogar uma moeda saia cara e coroa ao mesmo tempo.
- Os eventos são coletivamente exaustivos, ou seja, pelo menos um dos 2 deve ocorrer. Se você não é homem, é mulher e, se jogar uma moeda, se não der cara, deve ser coroa.
- A variável aleatória que segue uma distribuição binomial é geralmente representada como X ~ (n, p), onde n representa o número de tentativas ou experimentos ep a probabilidade de sucesso.
Fórmula da distribuição binomial
A fórmula para calcular a distribuição normal é:
Onde:
n = Número de tentativas / experimentos
x = número de sucessos
p = probabilidade de sucesso
q = Probabilidade de falha (1-p)
É importante notar que a expressão entre colchetes não é uma expressão de matriz, mas é o resultado de uma combinação sem repetição. Isso é obtido com a seguinte fórmula:
O ponto de exclamação na expressão anterior representa o símbolo fatorial.
Exemplo de distribuição binomial
Imaginemos que 80% das pessoas no mundo já viram a final da última Copa do Mundo de futebol. Após o evento, 4 amigos se encontram para conversar. Qual a probabilidade de 3 deles terem visto o jogo?
Vamos definir as variáveis do experimento:
n = 4 (é a amostra total que temos)
x = número de sucessos, que neste caso é igual a 3, pois estamos procurando a probabilidade de que 3 dos 4 amigos o tenham visto.
p = probabilidade de sucesso (0,8)
q = probabilidade de falha (0,2). Este resultado é obtido subtraindo 1-p.
Depois de definir todas as nossas variáveis, simplesmente substituímos na fórmula.
O numerador do fatorial seria obtido multiplicando 4 * 3 * 2 * 1 = 24 e no denominador teríamos 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Portanto, o resultado do fatorial seria 24/6 = 4 .
Fora do colchete, temos dois números. O primeiro seria 0,8 3 = 0,512 e o segundo 0,2 (uma vez que 4-3 = 1 e qualquer número elevado a 1 é o mesmo).
Portanto, nosso resultado final seria: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Se multiplicarmos por 100, temos 40,96% de probabilidade de que 3 dos 4 amigos tenham visto a final da Copa do Mundo.