O modelo Black-Scholes é uma fórmula usada para avaliar o preço de uma opção financeira. Esta fórmula é baseada na teoria dos processos estocásticos.
O modelo de Black-Scholes deve seu nome aos dois matemáticos que o desenvolveram, Fisher Black e Myron Scholes. Black-Scholes foi originalmente usado para avaliar opções sem dividendos. Ou o que é o mesmo, tentar calcular qual deveria ser o preço "justo" de uma opção financeira. Posteriormente, o cálculo foi estendido para todos os tipos de opções.
Esse modelo recebeu o Prêmio Nobel de Economia em 1997. Dessa forma, tornou-se um dos pilares fundamentais da teoria financeira moderna. Muitos analistas usam esse método para avaliar qual deve ser o preço apropriado para uma opção financeira.
Suposições do modelo Black-Scholes
Antes de entrar na fórmula e no cálculo subsequente, é necessário fazer algumas considerações sobre o modelo. Algumas suposições iniciais que o modelo leva em consideração e que listaremos a seguir:
- Não há custos de transação ou impostos.
- A taxa de juros livre de risco é constante para todos os vencimentos.
- O estoque não paga dividendos.
- A volatilidade permanece constante.
- A venda a descoberto é permitida.
- Não existem oportunidades de arbitragem sem risco.
- Suponha que a distribuição de probabilidade dos retornos seja uma distribuição normal.
Fórmula Black-Scholes
A fórmula de precificação da opção Black-Scholes é expressa da seguinte forma:
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Onde:
- C = Preço de compra da opção hoje (T = 0) em euros.
- T = período até o vencimento em anos (3 meses = 0,25 anos).
- r = taxa de juros sem risco. A rentabilidade da dívida estadual tanto por um
- sigma = volatilidade conforme um.
- X = Preço de exercício da opção de compra em euros.
- S = Preço da ação em T = 0 em euros.
- N (d1 e d2) = Valor da função de probabilidade cumulativa de uma distribuição normal com média zero e um desvio padrão.
Exemplo de cálculo de Black-Scholes
Suponha que pretendemos calcular o valor de uma opção de compra, que tem 3 meses a expirar, com um preço de exercício de 40 euros. O preço da ação é de 50 euros. A volatilidade anual é de 30% (0,3). E a taxa de juros sem risco de 3 meses é de 10%. A ação não paga dividendos pelos próximos três meses.
Por tanto:
- C = Preço de compra da opção hoje (T = 0) em euros.
- T = 0,25.
- r = 0,1.
- sigma = 0,3.
- X = 40 euros.
- S = 50 euros.
Calculamos d1 e d2:
- d1 = 1,72.
- d2 = 1,57.
- N (d1) = 0,9573.
- N (d2) = 0,9418.
Aliás, para obter os últimos valores de d1 e d2 é necessário usar as tabelas de probabilidade.
Assim que tivermos todos os dados, substituímos na fórmula inicial:
Assim, de acordo com Black-Scholes, o preço adequado para a nossa opção de compra é de 11.123 euros.
Limitações do modelo Black-Scholes
Embora o modelo Black-Scholes ofereça uma solução brilhante para o problema de calcular um preço apropriado para uma opção, ele tem algumas limitações.
É um modelo, ou seja, uma adaptação da realidade. Portanto, como uma adaptação à realidade, não a representa perfeitamente. Black-Scholes calcula o preço das opções que só podem ser exercidas ou liquidadas no vencimento. Entretanto, as opções dos EUA podem ser exercidas antes do vencimento. Além disso, também assume que a ação não paga dividendos. E que tanto a taxa livre de risco quanto a volatilidade são constantes. O que também não é o caso na realidade, já que muitas ações pagam dividendos. Por último, a volatilidade e as taxas livres de risco mudam com o tempo, portanto, essa suposição também não é verdadeira.
Modelo matemático