O limite de Cramér-Rao (CCR) é a variância mínima que, dadas as condições de regularidade, um estimador de um parâmetro pode atingir.
Em outras palavras, procuramos a variância mais próxima desse limite inferior para encontrar o melhor estimador de acordo com as propriedades de imparcialidade e eficiência.
Recomenda-se ler as propriedades dos estimadores
Essas propriedades são utilizadas quando temos que escolher um estimador para realizar uma análise econométrica. Se quisermos que nossos resultados sejam conclusivos, no mínimo, teremos que exigir que o estimador seja não viesado e tenha a menor variância possível de todos os estimadores não viesados (eficiência).
Embora levemos em consideração todos os estimadores não enviesados, quando procuramos o estimador de variância mínima, pode acontecer que haja outro estimador não enviesado que tenha menos variância.
Para que nenhum estimador imparcial com variância mínima nos escape, estabelecemos um limite mínimo ou inferior que a variância do estimador imparcial de um parâmetro não pode exceder.
Apenas olhamos para os estimadores não enviesados porque os estimadores enviesados podem ter variâncias menores do que o CCR.
Formulação
Nós definimos:
f (X; Θ): função densidade de probabilidade.
E (·): esperança matemática.
I (Θ): Informação de Fisher de um parâmetro.
Representa "a quantidade de informação" sobre o valor do parâmetro contido em uma observação da variável aleatória X.
Fórmula:
Não entrar em pânico! O que podemos ver à primeira vista com esta fórmula?
- Podemos ver que é uma desigualdade não estrita (≥) em vez de uma igualdade (=). Isso ocorre porque em alguns casos não encontramos (não existe) um estimador imparcial que alcance o limite do CCR. Portanto, dizemos que estamos procurando a variância de um estimador não enviesado que seja o mais próximo possível desse limite inferior. Além disso, o CCR nos informa qual será a variância mínima do estimador, abaixo deste valor não pode ser encontrado.
- A parte à direita (var (Θ ’) é a variância da estimativa de nosso parâmetro.
- A parte à esquerda (1 / J (Θ)) é o mínimo intransponível da variância.
- Se buscarmos um mínimo (absoluto) para a variância do estimador de Θ, é lógico que as derivadas parciais (derivadas em relação a Θ) apareçam.
- Em economia, as derivadas parciais são usadas em condições de primeira e segunda ordem para otimizar funções de utilidade: encontre os máximos e mínimos relativos e absolutos, respectivamente.
- O CCR usa a primeira derivada parcial do parâmetro Θ na função de densidade de probabilidade f (X; Θ)
- Para facilidade de cálculo, em alguns casos, a segunda derivada e a informação alternativa de Fisher são usadas para obter CCR.
Os estimadores que, não sendo viesados, possuem variância igual ao CCR, serão considerados os mais eficientes. Da mesma forma, aqueles não enviesados cuja variância é mais próxima serão considerados relativamente mais eficientes do que os outros estimadores (mais distantes).
