O valor esperado de uma variável aleatória é o conceito análogo à álgebra matemática que contempla a média aritmética do conjunto de observações dessa variável.
Em outras palavras, o valor esperado de uma variável aleatória é o valor que aparece com mais frequência durante a repetição de um experimento muitas vezes.
Propriedades dos valores esperados de uma variável aleatória
O valor esperado de uma variável aleatória tem três propriedades que desenvolvemos a seguir:
Propriedade 1
Para qualquer constante g, o valor esperado dessa constante será expresso como E (g) e será a mesma constante g. Matematicamente:
E (g) = g
Como g é uma constante, ou seja, não depende de nenhuma variável, seu valor permanecerá o mesmo.
Exemplo
Qual é o valor esperado de 1? Em outras palavras, que valor atribuímos ao número 1?
E (1) =?
Exatamente, atribuímos o valor 1 ao número 1 e seu valor não mudará por mais que os anos passem ou ocorram desastres naturais. Então, estamos lidando com uma variável constante e, portanto:
E (1) = 1 ou E (g) = g
Eles podem tentar outros números.
Propriedade 2
Para qualquer constante hek, o valor esperado da reta h · X + k será igual à constante h multiplicada pela expectativa da variável aleatória X mais a constante k. Matematicamente:
E (h X + k) = h E (X) + k
Olhe bem, isso não te lembra um heterossexual muito famoso? Exatamente, a linha de regressão.
Se substituirmos:
E (hX + k) = Y
E (X) = X
k = B0
h = B1
Ter:
Y = B0 + B1X
Quando os coeficientes B são estimados0 , B1 , isto é, B0 , B1 , eles permanecem os mesmos para toda a amostra. Portanto, estamos aplicando a propriedade 1:
E (B0) = B0
E (B1) = B1
Aqui também encontramos a propriedade de imparcialidade, ou seja, o valor esperado do estimador é igual ao seu valor populacional.
Voltando a E (h · X + k) = h · E (X) + k, é importante ter em mente que Y é E (h · X + k) ao tirar conclusões das linhas de regressão. Em outras palavras, seria o mesmo que dizer que quando X aumenta em um, Y aumenta em metade h unidades, uma vez que Y é o valor esperado da reta h · X + k.
Propriedade 3
Se H é um vetor de constantes e X é um vetor de variáveis aleatórias, o valor esperado pode ser expresso como a soma dos valores esperados.
H = (h1 , h2, , …, hn)
X = (X1 , X2, ,…, Xn)
Ei1X1 + h2X2 +… + HnXn) = h1·ANTIGO1) + h2·ANTIGO2) +… + Hn·ANTIGOn)
Expresso com somas:
Esta propriedade é muito útil para derivações no campo da estatística matemática.