Distribuição de Poisson - O que é, definição e conceito

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que modela a frequência de certos eventos durante um intervalo de tempo fixo com base na frequência média de ocorrência desses eventos.

Em outras palavras, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que, somente conhecendo os eventos e sua frequência média de ocorrência, podemos saber sua probabilidade.

Expressão de distribuição de Poisson

Dada uma variável aleatória discreta X, dizemos que sua frequência pode ser satisfatoriamente aproximada a uma distribuição de Poisson, de modo que:

Ao contrário da distribuição normal, a distribuição de Poisson depende apenas de um parâmetro, mu (marcado em amarelo).

Mu relata o número esperado de eventos que ocorrerão em um intervalo de tempo definido. Ao falar sobre algo "esperado", temos que redirecioná-lo para pensar no meio. Portanto, mu é a média da frequência dos eventos.

Tanto a média quanto a variância dessa distribuição são estritamente positivas.

Representação

Dada uma distribuição de Poisson com média 2, a distribuição de probabilidade de densidade é a seguinte:

A função é definida apenas em valores inteiros de x.

Nem todas as distribuições de probabilidade de densidade de Poisson terão a mesma aparência, mesmo se mantivermos a amostra igual. Se mudarmos a média, ou seja, o parâmetro do qual a função depende, a função também mudará.

Função de densidade de probabilidade (pdf)

Esta função é entendida como a probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor específico x. É o exponencial da média negativa multiplicado pela média elevada à observação e tudo dividido pelo fatorial da observação.

Conforme indicado, para saber a probabilidade de cada observação, teremos que substituir todas as observações na função. Em outras palavras, x é um vetor de dimensão n que contém todas as observações da variável aleatória X. A média também seria um vetor, mas de uma dimensão, tal que:

Assim que tivermos as probabilidades calculadas, juntamente com as observações, podemos desenhar a distribuição de densidade de probabilidade.

História

O nome dessa distribuição vem de seu criador, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), um matemático e filósofo francês, que queria modelar a frequência dos eventos durante um intervalo de tempo fixo. Ele também participou do aperfeiçoamento da lei dos grandes números.

Aplicativo

A distribuição de Poisson é utilizada no campo do risco operacional para modelar situações em que ocorre uma perda operacional. No risco de mercado, o processo de Poisson é utilizado para tempos de espera entre transações financeiras em bancos de dados de alta frequência. Além disso, o risco de crédito é levado em consideração para modelar o número de falências.

Exemplo

Presumimos que estamos no inverno e queremos esquiar antes de dezembro. A probabilidade de as estações de esqui abrirem antes de dezembro é de 5%. Das 100 estações de esqui, queremos saber a probabilidade de a estação de esqui mais próxima abrir antes de dezembro. A avaliação desta estação de esqui é de 6 pontos.

As entradas necessárias para calcular a função de probabilidade de densidade de Poisson são o conjunto de dados e mu:

• Conjunto de dados = 100 estações de esqui.
• Mu = 5% * 100 = 5 é o número esperado de estações de esqui de acordo com o conjunto de dados.

Portanto, a estação mais próxima tem 14,62% ​​de chance de abrir antes de dezembro.