O termo convexo é usado para descrever uma superfície que apresenta uma curvatura, sendo seu centro o lado com maior destaque.
Portanto, dizemos que o interior de uma esfera ou trampolim (como aquele em que as crianças brincam) é convexo. Isso se deve ao fato de sua parte central apresentar maior afundamento.
É possível analisar se as figuras geométricas são convexas, por exemplo, no caso de uma parábola é quando está em forma de U.
Um truque didático para lembrar a convexidade é pensar que a forma da curva convexa é a de um rosto sorridente.
Além disso, embora tenhamos nos referido à propriedade da convexidade como algo que possui uma curva, ela também é aplicável a funções matemáticas e polígonos, como veremos a seguir.
Como saber se uma função é convexa?
Se a segunda derivada de uma função é maior que zero em um ponto, então a função é convexa naquele ponto, em sua representação gráfica.
O acima, formalmente, é expresso da seguinte forma:
f »(x)> 0
Por exemplo, a função f (x) = x2 + x + 3. Sua primeira derivada f '(x) = 2x +1 e sua segunda derivada f »(x) = 2. Portanto, a função f (x) = x2 + x + 3 é convexo para qualquer valor de x, como vemos na imagem abaixo, que é uma parábola:
Agora vamos imaginar esta outra função f (x) = - x3 + x2 + 3. Sua primeira derivada f '(x) = -3x2 + 2x e sua segunda derivada f »(x) = -6x + 2. Uma vez que temos a segunda derivada calculada, devemos verificar quais são os valores de x, a função f (x) = -x3 + x2 + 3 é convexo.
Então, definimos a segunda derivada igual a 0:
f »(x) = -6x + 2 = 0
6x = 2
x = 0,33
Portanto, a função é convexa quando x é menor que 0,33, já que a segunda derivada da equação é positiva. Podemos verificar isso substituindo diferentes valores de x. Da mesma forma, a função torna-se côncava quando x é maior que 0,33, como podemos ver no gráfico abaixo.
Polígono convexo
Um polígono convexo é aquele em que é verdade que dois pontos, qualquer um da figura, podem ser unidos por uma linha reta que sempre permanecerá dentro do polígono. Além disso, todos os ângulos internos são menores que 180º. Podemos pensar, por exemplo, em um quadrado ou um octógono regular.
O oposto é um polígono côncavo. Ou seja, aquele em que, pelo menos para unir dois de seus pontos, deve-se traçar uma linha que está, parcial ou totalmente, fora da figura. Conforme visto na comparação oferecida abaixo:
