Álgebra de conjuntos - O que é, definição e conceito

Álgebra de conjuntos é uma área de estudo, dentro da matemática e da lógica, focada nas operações que podem ser realizadas entre conjuntos.

A álgebra de conjuntos é parte do que conhecemos como teoria dos conjuntos.

Deve-se lembrar que conjunto é o agrupamento de elementos de diferentes tipos, como letras, números, símbolos, funções, figuras geométricas, entre outros.

Definir operações

As principais operações com conjuntos são as seguintes:

União: A união de dois ou mais conjuntos contém todos os elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos. É indicado pela letra U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

Interseção: A interseção de dois ou mais conjuntos inclui os elementos que esses conjuntos compartilham. É indicado pelo U invertido (∩). Exemplo:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

Diferença: A diferença de um conjunto em relação a outro é igual aos elementos do primeiro conjunto menos os elementos do segundo. É indicado pelo símbolo ou -. Visto de outra forma, x ∈ a A B se x ∈ A, mas x ∉ B. Exemplo:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

Complemento: O complemento de um conjunto inclui todos os elementos que não estão contidos nesse conjunto (mas que pertencem a outro conjunto de referência universal). É indicado pelo sobrescrito C. Exemplo:

A = (3,9,12,15,18)

U (Universo) = Todos os múltiplos de 3 que são números naturais inteiros menores que 30.

PARA^C=(6,21,24,27)

Diferença simétrica: A diferença simétrica de dois conjuntos inclui todos os elementos que estão em um ou outro, mas não os dois ao mesmo tempo. Ou seja, é a união dos conjuntos sem sua interseção. Seu símbolo é Δ. Exemplo:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

Produto cartesiano: É uma operação que resulta em um novo conjunto, que contém como elementos os pares ordenados ou as tuplas (séries ordenadas) dos elementos que pertencem a dois ou mais conjuntos. Eles são pares ordenados se forem dois conjuntos e tuplas se tivermos mais de dois conjuntos. Exemplo:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Leis da álgebra de conjuntos

As leis da álgebra de conjuntos são as seguintes:

Idempotência: A união ou interseção de um conjunto consigo mesmo resulta no mesmo conjunto:

XUX = X

X∩X = X

Comutativo: A ordem dos fatores não altera o resultado ao encontrar a união ou interseção dos conjuntos:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

Distributiva: A união de um conjunto X, com a interseção de dois outros conjuntos Y e Z, é igual à interseção da união de X e Y, com a união de X e Z. Ou seja:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Além disso, o mesmo é verdade se invertermos a ordem das operações:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

Associativo: Os termos de uma operação de união ou intersecção de vários conjuntos podem ser agrupados indistintamente, obtendo-se sempre o mesmo resultado:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

Lei de Morgan: O complemento da união de dois conjuntos é igual à interseção de seus complementos, e o complemento da interseção de dois conjuntos é igual à união de seus complementos.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

Lei das diferenças: A diferença de um conjunto em relação a outro é igual à interseção do primeiro com o complemento do segundo:

(X-Y) = X∩Y^C

Leis complementares:
- A união de um conjunto com seu complemento não é igual ao conjunto universal. XUX^C= U
- A interseção de um conjunto com seu complemento é igual ao conjunto nulo ou vazio. X∩X^C=∅
- O complemento do complemento de um conjunto X é igual ao conjunto X. (X^C)^C= X
- O complemento do conjunto universal é igual ao conjunto nulo ou vazio. X^C=∅
- O complemento do conjunto vazio é igual ao conjunto universal. ∅^C= U