A probabilidade posterior é aquela que é calculada com base em dados já conhecidos após um processo ou experimento.
A probabilidade posterior é, então, aquela que não é estimada com base em conjecturas ou algum conhecimento prévio sobre a distribuição de uma probabilidade, como na probabilidade anterior.
Para entender melhor, vejamos um exemplo.
Suponha que uma empresa esteja desenvolvendo um novo produto de higiene pessoal, por exemplo, um xampu. Assim, a empresa avalia um grupo de voluntários para ver se algum percentual deles desenvolve caspa após o uso do produto.
Assim, por exemplo, obtém-se que a probabilidade posterior de um homem adulto desenvolver caspa ao experimentar este novo produto é de 2%.
Em vez disso, um exemplo de probabilidade a priori ocorre quando, antes de rolar um dado, assumimos que há a mesma probabilidade de que qualquer um dos seis números rolará como resultado, ou seja, 1/6.
História de probabilidadeProbabilidade a posteriori e o teorema de Bayes
Para resolver exercícios com probabilidades posteriores, costumamos recorrer ao teorema de Bayes, cuja fórmula é a seguinte:
Na fórmula acima, B é o evento sobre o qual temos informações e A (n) são os vários eventos condicionais. Ou seja, no numerador temos a probabilidade condicional, que é a possibilidade de um evento B ocorrer dado que outro evento A ocorreun. Enquanto no denominador observamos a soma dos eventos condicionados, que seriam iguais à probabilidade total de ocorrência do evento B, assumindo que nenhum dos possíveis eventos condicionados seja omitido.
Melhor vamos ver, na próxima seção, um exemplo para que seja melhor entendido.
Exemplo de probabilidade a posteriori
Suponha que temos 4 salas de aula que foram avaliadas com o mesmo exame.
Na primeira turma ou sala, que chamamos de A, 60% dos alunos passaram na avaliação, enquanto nas demais salas, que chamaremos de B, C e D, o percentual de aprovação foi de 50%, 56% e 64%, respectivamente. Essas seriam probabilidades posteriores.
Outro fato a ser levado em consideração é que as turmas A e B têm 30 alunos, enquanto as turmas C e D têm 25 cada. Então, se escolhermos, entre as provas das quatro turmas, uma avaliação aleatória e ela acabar passando, qual a probabilidade de pertencer à classe A?
Para o seu cálculo, aplicaremos o teorema de Bayes, onde An o evento condicional de que o exame pertence a um aluno nas classes A e B o fato de que a nota está sendo aprovada:
P (An/ B) = (0,6 * 30/110) / ((0,6) * (30/110) + (0,5) * (30/110) + (0,56) * (25/110) + (0,64) * (25 / 110))
P (An/ B) = 0,1636 / 0,5727 = 0,2857
Deve-se notar que dividimos o número de alunos da sala de aula X pelo número total de alunos nas quatro turmas para saber a probabilidade de o aluno ser da sala de aula X.
O resultado nos diz que há uma probabilidade de aproximadamente 28,57% de que, se escolhermos um exame aleatório e ele tiver nota de aprovação, será da classe A.