O produto escalar de dois vetores segundo sua definição geométrica é a multiplicação de seus módulos pelo cosseno do ângulo formado por ambos os vetores.
Em outras palavras, o produto escalar de dois vetores é o produto dos módulos de ambos os vetores e o cosseno do ângulo.
Fórmula escalar do produto
Dados dois vetores, o produto escalar é calculado da seguinte forma:
É chamado de produto escalar porque o resultado do módulo será sempre um escalar, da mesma forma que o cosseno de um ângulo também será. O resultado dessa multiplicação será um número que expressa uma magnitude e não tem direção. Em outras palavras, o resultado do produto escalar será um número, não um vetor. Portanto, expressaremos o número resultante como qualquer número e não como um vetor.
Para saber a magnitude de cada vetor, o módulo é calculado. Portanto, se multiplicarmos a magnitude de um dos vetores (v) pela magnitude do outro vetor (a) pelo cosseno do ângulo que ambos formam, saberemos quanto os dois vetores medem no total.
O módulo do vetor (v) vezes o cosseno do ângulo também é conhecido como a projeção do vetor v no vetor a.
Veja outra maneira de calcular o produto escalar de dois vetores
Processar
- Calcule os módulos dos vetores.
Dado qualquer vetor de três dimensões,
A fórmula para calcular o módulo de um vetor é:
Cada subscrito do vetor indica as dimensões, neste caso, o vetor (a) é um vetor tridimensional porque possui três coordenadas.
2. Calcule o cosseno do ângulo.
Exemplo do produto escalar de dois vetores
Calcule o produto escalar dos seguintes vetores tridimensionais, sabendo que o ângulo que eles formam é de 45 graus.
Para calcular o produto escalar, primeiro temos que calcular o módulo dos vetores:
Depois de calcularmos os módulos dos dois vetores e conhecermos o ângulo, só precisamos multiplicá-los:
Portanto, o produto escalar dos vetores anteriores é 1,7320 unidades.
Gráfico
Os seguintes vetores pareceriam em um gráfico tridimensional seriam os seguintes:
Para o vetor (c) podemos ver que a componente z é zero, portanto, será paralela ao eixo das abcissas. Em vez disso, o componente z do vetor (b) é positivo, então podemos ver como ele se inclina para cima. Ambos os vetores estão no quadrante dos positivos em termos de componente, pois é positivo e é o mesmo.