Combinação linear de vetores
Uma combinação linear de vetores ocorre quando um vetor pode ser expresso como uma função linear de outros vetores que são linearmente independentes.
Em outras palavras, a combinação linear de vetores é que um vetor pode ser expresso como uma combinação linear de outros vetores que são linearmente independentes uns dos outros.
Requisitos para combinação linear de vetores
A combinação linear de vetores deve atender a dois requisitos:
- Que um vetor pode ser expresso como uma combinação linear de outros vetores.
- Sejam esses outros vetores linearmente independentes uns dos outros.
Combinação linear em cálculo
Na matemática básica, estamos acostumados a ver frequentemente combinações lineares sem perceber. Por exemplo, uma linha é uma combinação de uma variável em relação à outra, de modo que:
Mas raízes, logaritmos, funções exponenciais … não são mais combinações lineares, pois as proporções não permanecem constantes para toda a função:
Portanto, se estamos falando de combinação linear de vetores, a estrutura da equação terá a seguinte forma:
Como estamos falando de vetores e a equação anterior se refere a variáveis, para construir a combinação de vetores basta substituir as variáveis por vetores. Sejam os seguintes vetores:
Portanto, podemos escrevê-los como combinação linear da seguinte forma:
Os vetores sendo linearmente independentes uns dos outros.
Letra grega lambda atua como o parâmetro m na equação geral da linha. Lambda será qualquer número real e, se não aparecer, seu valor será igual a 1.
O fato de os vetores serem linearmente independentes significa que nenhum dos vetores pode ser expresso como uma combinação linear dos outros. Sabe-se que os vetores independentes formam a base do espaço e o vetor dependente também pertence a esse espaço.
Exemplo paralelepípedo
Assumimos que temos três vetores e queremos expressá-los como uma combinação linear. Também sabemos que cada vetor vem do mesmo vértice e constitui a abscissa desse vértice. A figura geométrica é um paralelepípedo. Como nos informam que a figura geométrica que esses vetores formam é a abcissa de um paralelepípedo, então, os vetores delimitam as faces da figura.
Primeiro, temos que saber se os vetores são linearmente dependentes. Se os vetores forem linearmente dependentes, não podemos formar uma combinação linear a partir deles.
Três vetores:
Como podemos saber se os vetores são linearmente dependentes se eles não nos fornecem informações sobre suas coordenadas?
Bem, usando lógica. Se os vetores fossem linearmente dependentes, todas as faces do paralelepípedo entrariam em colapso. Em outras palavras, eles seriam os mesmos.
Portanto, podemos expressar um novo vetor C como resultado da combinação linear dos vetores anteriores:
Vetor que representa a combinação dos vetores anteriores:
Graficamente:
