Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
O máximo divisor comum (GCF) e o mínimo múltiplo comum (LCM) são dois valores que podem ser calculados a partir dos divisores de dois ou mais números.
Embora ambos sejam calculados a partir das mesmas informações, o GCF e o LCM são interpretados de maneiras muito diferentes.
Por um lado, o GCF é o maior número pelo qual dois ou mais números podem ser divididos. Isso, sem deixar nenhum resíduo.
Em vez disso, o MMC é a menor figura que satisfaz a condição de ser um múltiplo de todos os elementos de um conjunto de números.
Deve-se observar que um número é múltiplo de outro quando o contém exatamente n vezes. Ou seja, um número b é um múltiplo de para quando b=para*s, sendo s um inteiro.
Para entender melhor a diferença, podemos usar um exemplo com os seguintes números: 450, 765 e 135.
Primeiro, desagregamos cada figura em divisores. Esses são os números em que está contido em outro exatamente uma quantidade n de vezes.
450= (3^2)*(5^2)*2
765= (3^2)*5*17
135= (3^3)*5
Portanto, para calcular o GCF, levaríamos os divisores comuns à sua potência mais baixa:
GCF = (3 2) * 5 = 45
Da mesma forma, para o lcm tomaríamos todas as divisórias, mesmo aquelas que não se repetem, elevando-as à sua potência máxima:
lcm = (3 3) * (5 2) * 2 * 17 = 22.950
Relacionamento entre GCF e LCM
Quando você tem dois números, a seguinte fórmula é verdadeira:
Ou seja, para 4.368 e 308
4.368= (2^4)*13*7*3
308= (2^2)*11*7
Portanto, o lcm seria: (2 2) * 7 = 28
Portanto, o GCF poderia ser resolvido na fórmula:
GCD = 4,368 * 308/28 = 48,048
Algumas propriedades
Algumas propriedades a serem consideradas também são:
- Se tivermos dois números primos (que só podem ser divididos por si próprios e um para obter um número inteiro), o MMC é o total de sua multiplicação. Da mesma forma, seu maior fator comum é 1. Por exemplo, se tivermos 11 e 103, seu LCM será 1133 e seu GCF será 1.
- O maior divisor comum de dois ou mais números é um divisor do mínimo múltiplo comum de tais números. Isso ocorre porque o cálculo é feito com base nos mesmos fatores. Por exemplo, se tivermos 132, 336 e 1.314
132= (2^2)*3*11
336= (2^4)*3*7
1.314= (3^2)*73*2
Então,
GCF = 3 * 2 = 6
lcm = (2 4) * (3 2) * 7 * 11 * 73 = 809,424
E verificamos que o LCM é um múltiplo do GCF: 809,424 / 6 = 134,904
