Por combinação sem repetição entende-se os diferentes conjuntos que podem ser formados com «n» elementos, selecionados de x em x. Cada conjunto deve diferir do anterior em pelo menos um de seus elementos (a ordem não importa) e estes não podem ser repetidos.
Combinatória sem repetição é comum em estatística e matemática. Isso se adapta a muitas situações da vida real e sua aplicação é bastante direta.
Considere, por exemplo, um aluno que tem um exame de 4 perguntas. Das 4 perguntas, ele deve escolher 3. Quantas combinações diferentes o aluno poderia fazer? Se raciocinarmos um pouco, veremos (sem realmente aplicar a fórmula) que o aluno pode escolher como responder às 3 questões de quatro maneiras diferentes.
- Conjunto / opção 1: responder às perguntas 1,2,3.
- Conjunto / opção 2: responder às perguntas 1,2,4.
- Conjunto / opção 3: responder às perguntas 1,3,4.
- Conjunto / opção 4: responder às perguntas 2,3,4.
Como podemos ver, o aluno pode formar 4 conjuntos (n) de 3 elementos (x). Portanto, a combinatória sem repetição nos diz como formar ou agrupar uma quantidade finita de dados / observações, em grupos de uma determinada quantidade, sem que nenhum dos elementos possa ser repetido em cada grupo. Esta é a principal diferença entre o combinatório com repetição (os elementos de cada grupo podem ser repetidos) e o combinatório sem repetição (nenhum elemento pode ser repetido em cada grupo)
Para destacar neste exemplo, que se trata de um caso de combinatória sem repetição, uma vez que o aluno não pode optar por fazer nenhuma das perguntas mais de uma vez. Portanto, os elementos dos conjuntos não podem ser repetidos.
No caso anterior, dado que o número total de elementos é pequeno e a quantidade do conjunto é alta, o número de opções é pequeno e pode ser facilmente deduzido sem aplicar a fórmula. No caso de aplicar a fórmula diretamente, o numerador seria 24 (4 * 3 * 2 * 1) e o denominador seria 6 (3 * 2 * 1 * 1) com o qual chegaríamos ao cálculo da mesma maneira sem pensar em como poderíamos agrupar essas quatro perguntas em conjuntos de três.
Como calcular combinatória sem repetição?
A fórmula do combinatório sem repetição é:
Onde:
- n = Total de observações
- x = Número de itens selecionados
Exemplo de combinatória sem repetição
Vamos imaginar um pelotão militar de 12 soldados. O capitão do exército quer formar grupos de 2 soldados para se infiltrar atrás das linhas inimigas em diferentes pontos. Quantos grupos diferentes ele pode formar?
Para resolver o problema, primeiro temos que identificar o número total de elementos. Neste caso são 12 soldados no total, portanto já temos nosso n. Como o capitão quer grupos de 2, já sabemos qual é o nosso x. Sabendo disso, poderíamos substituir na fórmula e ter o número de combinações de grupos de 2.
- n = 12
- x = 2
Ao substituir:
Aplicando o fatorial para o denominador, teríamos 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479,001,600. Para o denominador, temos 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7.257.600. Nosso número combinatório é = 479.001.600 / 7.257.600 = 66.
Como podemos ver, o capitão pode formar 66 pares diferentes de soldados entre os 12 que possui.