A bissetriz de um triângulo é um segmento que divide um de seus ângulos internos em duas partes iguais e continua até atingir o lado oposto a esse ângulo. Cada ângulo interno do triângulo tem uma bissetriz.
Devemos notar então que todo triângulo tem três bissetores, cada um dos quais começa a partir de cada vértice em direção ao lado oposto.
Como podemos ver na imagem, suas bissetores se cruzam no ponto I, que é o incentivo. Este é o centro do círculo inscrito no triângulo. Essa circunferência é, por sua vez, tangente à figura.
Também deve ser notado que na imagem os segmentos AD, FC e BE são as bissetoras interiores dos triângulos, que são calculados com as seguintes fórmulas:
Onde s é o semiperímetro:
Lembremos que as bissetoras são retas, ou seja, elementos unidimensionais que se estendem indefinidamente em uma única direção, não têm origem nem fim. No entanto, o comprimento das bissetoras internas, que são os segmentos dentro do triângulo, pode ser calculado.
Outro ponto a destacar é que o incentivo equidistante dos lados do triângulo, ou seja, observando a imagem superior, o segmento ID é igual ao segmento IE e, por sua vez, igual ao segmento IF.
Também deve ser observado que as três bissetrizas de um triângulo equilátero serão iguais, e se o comprimento de cada um dos lados da figura for L, então o comprimento de cada bissetriz será:
Teorema do bisector
O teorema da bissetriz nos diz que a razão entre o comprimento de dois lados que formam o ângulo em relação a uma de suas bissetriz é igual à divisão entre os comprimentos dos segmentos em que o lado que corta a respectiva bissetriz é dividido.
Em termos matemáticos, na imagem abaixo, sendo AD uma bissetriz interior, seria verdade que:
Da mesma forma, cumpre que:
Exemplo de bisector
Suponha que temos um triângulo cujos lados têm 10, 17 e 13 metros. Quanto tempo têm suas bissetoras internas? (s é o semiperímetro e as bissetoras são b1, b2 e b3.
