Linhas coincidentes - O que é, definição e conceito

As linhas coincidentes são aquelas que compartilham todos os seus pontos em comum, ou seja, possuem a mesma inclinação e percorrem as mesmas coordenadas no plano cartesiano.

As linhas coincidentes, do ponto de vista gráfico, são desenhadas uma sobre a outra, sendo ambas idênticas.

Da mesma forma, deve ser mencionado que nenhum ângulo se forma entre linhas coincidentes, como é o caso das linhas perpendiculares, que formam quatro ângulos de 90º, e linhas oblíquas, que formam dois ângulos agudos (menores que 90º) e dois ângulos. Obtusos (sobre 90º).

Outro ponto importante é que as linhas paralelas, assim como as coincidentes, obedecem a ter a mesma inclinação (declive), mas não têm nenhum ponto em comum.

Devemos também especificar que uma linha é um elemento geométrico unidimensional que consiste em uma série infinita de pontos que vão em uma única direção, ou seja, não apresenta curvas.

Como saber se duas linhas são coincidentes?

Para explicar como determinar se duas ou mais linhas são coincidentes, devemos primeiro lembrar que, a partir da geometria analítica, uma linha pode ser expressa como uma equação de primeira ordem como a seguinte:

y = mx + b

Assim, na equação y é a coordenada no eixo das ordenadas (vertical), x é a coordenada no eixo das abscissas (horizontal), m é a inclinação (inclinação) que forma a linha em relação ao eixo das abscissas e b é o ponto onde a linha intersecta o eixo das ordenadas.

O acima é a equação explícita de uma linha. Se duas ou mais linhas têm a mesma equação explícita, elas são coincidentes.

Porém, também podemos fazer uma análise mais ampla, com as equações implícitas de duas retas que teriam a seguinte forma:

0 = Ay + Bx + C

Como podemos ver, é uma equação semelhante à das linhas acima, mas ao lado da igualdade deixamos 0.

Portanto, A é o coeficiente que será multiplicado pela coordenada no eixo vertical, B é o coeficiente que será multiplicado pela coordenada no eixo horizontal e C é multiplicado por 1.

De posse de todas essas informações, duas (ou mais) linhas são coincidentes quando seus coeficientes são proporcionais, ou seja, nos limitando ao caso de duas linhas que teríamos:

A / A ’= B / B’ = C / C ’

Na equação acima, A, B e C são os coeficientes de uma linha, enquanto A ', B' e C 'são os coeficientes de sua linha coincidente.

Exemplo de linhas coincidentes

Suponha que temos duas linhas com as seguintes equações implícitas:

Linha 1: 0 = 9y-3x + 8

Linha 2: 0 = 27y-9x + 24

Então, dividimos os coeficientes:

9/27=1/3

3/9=1/3

8/24=1/3

Portanto, a linha 1 e a linha 2 são coincidentes.

Na imagem abaixo, vemos duas outras linhas que coincidem com suas respectivas equações: