O ponto de inflexão de uma função matemática é aquele ponto no qual o gráfico que a representa muda sua concavidade. Ou seja, passa de côncavo para convexo, ou vice-versa.
O ponto de inflexão, em outras palavras, é aquele momento em que a função muda de tendência.
Para se ter uma ideia, vamos começar olhando para isso em uma representação gráfica, mais ou menos:
Deve-se observar que uma função pode ter mais de um ponto de inflexão ou não ter. Por exemplo, uma linha não possui um ponto de inflexão.
Vejamos, no gráfico a seguir, um exemplo de função com mais de um ponto de inflexão:
Além disso, em termos matemáticos, o ponto de inflexão é calculado definindo a segunda derivada da função igual a zero. Assim, resolvemos pela raiz (ou raízes) dessa equação e a chamaremos de Xi.
Em seguida, substituímos Xi na terceira derivada da função. Se o resultado for diferente de zero, estamos diante de um ponto de inflexão.
Porém, se o resultado for zero, devemos substituir nas derivadas sucessivas, até que o valor desta derivada, seja a terceira, quarta ou quinta, seja diferente de 0. Se a derivada for ímpar, é um ponto de inflexão, mas se é mesmo não.
Exemplo de ponto de viragem
A seguir, vejamos um exemplo.
Suponha que temos a seguinte função:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y ’= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Em seguida, substituímos Xi na terceira derivada:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Como o resultado é diferente de zero, nos encontramos em frente a um ponto de inflexão que seria quando x fosse igual a -1,25 ey igual a -2,1328, como mostra o gráfico a seguir.
Nisto observa-se que a função possui um ponto de inflexão:
Agora, vejamos outro exemplo:
y = x4-54x2
y ’= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
x2=9
Xi = 3 e -3
Em seguida, substituímos as duas raízes encontradas na terceira derivada:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Como o resultado é diferente de zero, temos dois pontos de inflexão em (3.567) e (-3.567).
Para complementar as informações, convidamos você a visitar o artigo de inflexão, onde abordamos este conceito de uma forma mais geral:
Definição de inflexão