Os graus de liberdade são a combinação do número de observações em um conjunto de dados que variam aleatoriamente e independentemente menos as observações que são condicionais a esses valores arbitrários.
Em outras palavras, os graus de liberdade são o número de observações puramente livres (que podem variar) quando estimamos os parâmetros.
Diferenciamos principalmente entre estatísticas que usam parâmetros de população e amostra para saber seus graus de liberdade. Discutimos as diferenças entre a média e o desvio padrão quando os parâmetros são população ou amostra:
Parâmetros de população e amostra
- Parâmetros populacionais:
Como nas populações não conhecemos todos os valores, os graus de liberdade serão todos os elementos da população: N.
Ambas as estatísticas permitem que todas as observações do conjunto sejam aleatórias e, portanto, cada vez que estimamos a estatística, obteremos resultados diferentes. Então, as observações que têm pleno direito de variar são todas as observações do conjunto da população. Em outras palavras, os graus de liberdade neste caso são todos os elementos da população: N. Por esta razão, dividimos ambas as estatísticas pelo tamanho total da população (N).
- Parâmetros de amostra (estimativas):
Nas amostras, sabemos todos os valores.
Diferenciamos o tamanho da população (N) com o tamanho da amostra (n).
Como sabemos todos os valores nas amostras, não temos problemas para calcular a média, pois ela permite que todas as observações no conjunto sejam aleatórias.
No caso do desvio padrão, impomos uma restrição aos graus de liberdade: todos os elementos da amostra (n) e subtraímos 1 elemento.
Mas … Por que subtraímos apenas 1 e não 5 ou 10 elementos da amostra (n)?
Quanto mais elementos subtraímos, isso significa que quanto mais informações temos sobre o parâmetro de amostra, neste caso, o desvio padrão.
Quanto mais informações tivermos, menos liberdade (graus de liberdade) as observações de amostra terão para assumir valores aleatórios. Quanto mais elementos subtraímos da amostra, mais limitação impomos e menos graus de liberdade o parâmetro da amostra terá.
Exemplo
Supomos que vamos a Andorra para ver as finais da Copa do Mundo de Ski porque gostamos muito de esqui alpino. Trazemos um mapa que nos informa onde estão as diferentes disciplinas e o nome de alguns dos competidores, mas não especifica o número inicial de cada participante. Cada vez que eles dizem o nome do concorrente, nós o apagamos. Como a lista de competidores é limitada, chegará um momento em que saberemos o nome do competidor antes que ele anuncie pelos alto-falantes.
Analisamos a crônica do ponto de vista matemático:
- Tamanho da amostra (n) porque nos informam apenas o nome de alguns dos participantes.
- Cada participante pode começar de forma aleatória, a ordem não importa e não pode competir novamente (combinações sem repetições).
- O último participante será o elemento conhecido (n-1). Então, todos os outros participantes podem sair aleatoriamente, exceto o último, que sabemos com certeza.
Leia o exemplo de graus de liberdade