Uma matriz inversa é a transformação linear de uma matriz multiplicando o inverso do determinante da matriz pela matriz transposta adjunta.
Em outras palavras, uma matriz inversa é a multiplicação da inversa do determinante pela matriz adjunta transposta.
Artigos recomendados: determinante de uma matriz, matriz quadrada, diagonal principal e operações com matrizes.
Dada qualquer matriz X tal que
Fórmula de matriz inversa de uma matriz de ordem 2
Então a matriz inversa de X será
Usando esta fórmula, obtemos a matriz inversa de uma matriz quadrada de ordem 2.
A fórmula acima também pode ser expressa pelo determinante da matriz.
Fórmula de matriz inversa de uma matriz de ordem 2
As duas linhas paralelas em torno de X no denominador indicam que ele é o determinante da matriz X.
Quando uma matriz quadrada tem uma matriz inversa, dizemos que é uma matriz regular.
Requisitos
Para encontrar a matriz inversa de uma matriz de ordem n, precisamos atender aos seguintes requisitos:
- A matriz deve ser quadrada.
O número de linhas (n) deve ser igual ao número de colunas (m). Ou seja, a ordem da matriz deve ser n, dado que n = m.
- O determinante deve ser diferente de zero (0).
O determinante da matriz deve ser diferente de zero (0), pois participa da fórmula como denominador. Se o denominador fosse zero (0), teríamos uma indeterminação.
Se o denominador (ad - bc) = 0, ou seja, o determinante da matriz X é igual a zero (0), então a matriz X não possui matriz inversa.
Propriedade
Uma matriz quadrada X de ordem n terá uma matriz inversa X de ordem n, X-1, de modo que cumpre que
A ordem dos elementos da multiplicação não é relevante, ou seja, a multiplicação de qualquer matriz quadrada por sua matriz inversa sempre resultará na matriz identidade de mesma ordem.
Nesse caso, a ordem da matriz X é 2. Portanto, podemos reescrever a propriedade anterior como:
Exemplo prático
Encontre a matriz inversa da matriz V.
Para resolver este exemplo, podemos aplicar a fórmula ou primeiro calcular o determinante e depois substituí-lo.
Fórmula
Fórmula com determinante
Primeiro calculamos o determinante da matriz V e, em seguida, o substituímos na fórmula.
Assim, obtemos que o determinante da matriz V é diferente de zero (0) e podemos dizer que a matriz V possui sim uma matriz inversa.
Obtemos o mesmo resultado usando a fórmula ou primeiro calculando o determinante e depois substituindo-o.
A ordem da matriz inversa é igual à ordem da matriz original. Neste caso, teremos o mesmo número de linhas n e colunas m em ambas as matrizes V e V-1.
Matriz transposta