O modelo de Vasicek é um modelo de equilíbrio de um fator sobre taxas de juros baseado em um processo geométrico browniano que leva em consideração a reversão à média e a estrutura temporal das taxas de juros.
Em outras palavras, o modelo de Vasicek é usado para prever taxas de juros de longo prazo simulando taxas de juros de curto prazo. Além disso, leva em consideração que as taxas de juros são diferentes em diferentes períodos de tempo (estrutura temporal das taxas de juros).
Os modelos de taxas de juros de equilíbrio usam taxas de juros de curto prazo para calcular as taxas de juros futuras, levando em consideração a estrutura dos prazos das taxas de juros.
Para construir a curva de juros, precisamos das taxas de juros de curto prazo e dos parâmetros do modelo. Uma vez que temos as taxas de juros de curto prazo e os parâmetros, podemos calcular as taxas de juros de longo prazo.
Portanto, para calcular os preços futuros dos títulos de cupom zero, precisamos de taxas de juros de cupom zero de curto prazo. Dessa forma, também podemos construir a curva ou estrutura temporal das taxas de juros de cupom zero. Assim que tivermos a curva, determinaremos a evolução das taxas de juros de longo prazo dadas as taxas de juros de curto prazo.
Fórmula do modelo de Vasicek: Preço do título com cupom zero.
Solução analítica para encontrar o preço de um título de cupom zero que paga € 1 no vencimento (T) em qualquer período de tempo (t) e a uma taxa de juros de curto prazo (r (t)).
Não entrar em pânico!
Só precisamos:
- O período de tempo em que queremos saber as taxas de juros, ou seja, T.
- O momento em que estamos agora ou o momento inicial que queremos, ou seja, t.
- A curva de juros de curto prazo, ou seja, r (T) ou rT . Se quiséssemos expressar as taxas de juros no período inicial, usaríamos r (T) ou rT.
- Nessas fórmulas, trataremos os parâmetros a, b e s como constantes no tempo.
- O desvio padrão, s.
Para calcular o preço de um título de cupom zero que paga € 1 no vencimento (T) em qualquer período de tempo (t), só temos que dar valores aos parâmetros a, b e se simular as taxas de juros de curto prazo (r (t)).
Representação do Modelo Vasicek: Preço do Título Zero Cupom
P (t, T) representa o preço do título do tempo t até T.
Então … Os preços dos títulos sempre serão assim?
De forma alguma, como dissemos no início, as taxas de juros dependem de um processo geométrico browniano e, portanto, implicam na presença de um componente aleatório, N (0,1). Portanto, cada vez que calculamos as fórmulas acima, as taxas de curto prazo mudam, assim como as taxas de juros de longo prazo, os preços dos títulos e sua representação.
Usaremos as seguintes fórmulas para encontrar r (T) e R (T).
Fórmula do modelo de Vasicek: taxas de juros de curto prazo
Fórmula da taxa de juros de curto prazo (rT):
Fórmula da taxa de juros de longo prazo (RT):
Representação do Modelo Vasicek: curva de taxas de juros
